Para cada item: calcule D(\mathbf{k m o l} / \mathbf{h}), B(\mathbf{k m o l} / \mathbf{h}) e N_{\text {min }} (pratos teóricos, refluxo total). Apresente resultados com 3-4 casas decimais.
F=250 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}, z_{F}=0,50, x_{D}=0,90, x_{B}= 0,05, \alpha_{\text {avg }}=1,6.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • F=250\\ \mathrm{kmol/h}
    • z_F=0,50
    • x_D=0,90
    • x_B=0,05
    • \alpha_{\text{avg}}=1,6
  • O enunciado pede, para o processo (refluxo total para cálculo de N_{\min}):
    • calcular D em \mathrm{kmol/h};
    • calcular B em \mathrm{kmol/h};
    • calcular N_{\min} (número mínimo de pratos teóricos, refluxo total).

Passo 2

Explicação física e fórmula para calcular D e B a partir dos balanços:
  • Balanço global de matéria: F = D + B.
  • Balanço do componente mais volátil (com fração z_F no alimento e fração x_D e x_B no destilado e resíduo):
F\,z_F = D\,x_D + B\,x_B.
A partir dessas duas equações resolvemos para D. Isolando B em B=F-D e substituindo no balanço do componente:
F z_F = D x_D + (F-D)x_B = D x_D + F x_B - D x_B.
Rearranjando para D:
D (x_D - x_B) = F (z_F - x_B)
portanto
D = F\cdot\frac{z_F - x_B}{x_D - x_B}.

Passo 3

Cálculo numérico de D e B com todos os passos:
  • Primeiro calcule \dfrac{z_F - x_B}{x_D - x_B}:
z_F - x_B = 0,50 - 0,05 = 0,45,
x_D - x_B = 0,90 - 0,05 = 0,85,
\frac{z_F - x_B}{x_D - x_B} = \frac{0,45}{0,85} = \frac{9}{17} \approx 0,5294117647.
  • Agora D:
D = 250\cdot 0,5294117647 = 132,3529411764706\\ \mathrm{kmol/h}.
Arredondando a 4 casas decimais: \boxed{D = 132,3529\\ \mathrm{kmol/h}}.
  • E B pela soma:
B = F - D = 250 - 132,3529411764706 = 117,6470588235294\\ \mathrm{kmol/h}.
Arredondando a 4 casas decimais: \boxed{B = 117,6471\\ \mathrm{kmol/h}}.
(Observação amigável: dá sempre para checar com o balanço do componente: D x_D + B x_B = 132,352941\cdot0,90 + 117,647059\cdot0,05 \approx 112,117647 + 5,882353 = 118,00, e F z_F = 250\cdot0,50 = 125. Ops, perceba que esse último cálculo de checagem está incorreto — corrigi abaixo: calcular corretamente D x_D + B x_B: 132,352941\cdot0,90 = 119,117647 e 117,647059\cdot0,05 = 5,882353, soma 125,000000, que confere com F z_F = 125. Tudo certo.)

Passo 4

Explicação e fórmula para calcular N_{\min} (Fenske, refluxo total):
  • Conceito: o número mínimo de pratos teóricos em refluxo total para separar uma mistura binária com volatilidade média constante é dado pela equação de Fenske. A forma comum é:
N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D}{1-x_D}\cdot\dfrac{1-x_B}{x_B}\right)}{\ln(\alpha_{\text{avg}})}.
Aqui:
  • x_D é a fração molar do componente mais volátil no destilado;
  • x_B é a fração molar do componente mais volátil no fundo;
  • \alpha_{\text{avg}} é a volatilidade relativa média (assume-se constante ao longo da coluna);
  • \ln é o logaritmo natural. A razão entre logaritmos dá o número de estágios mínimos em refluxo total.

Passo 5

Cálculo numérico de N_{\min} com todos os detalhes:
  • Calcular o termo dentro do logaritmo:
\frac{x_D}{1-x_D} = \frac{0,90}{0,10} = 9,
\frac{1-x_B}{x_B} = \frac{0,95}{0,05} = 19,
\frac{x_D}{1-x_D}\cdot\frac{1-x_B}{x_B} = 9\cdot19 = 171.
  • Calcular N_{\min}:
N_{\min} = \frac{\ln(171)}{\ln(1,6)}.
  • Para computar \ln(171) pode-se decompor: \ln(171)=\ln(9)+\ln(19)=2\ln(3)+\ln(19).
    Usando valores numéricos precisos:
\ln(171) \approx 5,14166355650266,
\ln(1,6) \approx 0,4700036292457354.
Logo
N_{\min} \approx \frac{5,14166355650266}{0,4700036292457354} \approx 10,9396251.
Arredondando a 4 casas decimais: \boxed{N_{\min}=10,9396\\ \text{pratos teóricos}}ó.
(Dica encorajadora: esse número mínimo é teórico — na prática precisa-se de mais pratos porque não se opera exatamente em refluxo total e há não-idealidades.)

Resposta

D=132,3529\\ \mathrm{kmol/h}
B=117,6471\\ \mathrm{kmol/h}
N_{\min}=10,9396\\ \text{pratos teóricos}ó

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