Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Centro na origem, eixo principal vertical e passa pelos pontos
e
.
Centro na origem, eixo principal vertical e passa pelos pontos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem (0,0), com eixo principal vertical, e que passa pelos pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar a equação geral da hipérbole e substituir os pontos dados para descobrir os parâmetros desconhecidos.
Passo 2
Como a hipérbole tem o centro na origem e o eixo principal é vertical, a equação padrão é:
Aqui,
representa a distância do centro aos vértices no eixo y, e
está relacionado à inclinação das assíntotas.
Passo 3
Vamos substituir o ponto
na equação da hipérbole:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o ponto
na equação:
Simplificando:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-
(Equação 1) -
(Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos resolver a Equação 2 para
:
Substituindo na Equação 1:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a Equação 2:
Substituindo
:
Passo 8
Com
e
, podemos escrever a equação da hipérbole:
Passo 9
Para esboçar as assíntotas da hipérbole, usamos as equações:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da hipérbole é:
E suas assíntotas são: