Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=(t^2, tan t, 3).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função vetorial r(t) = (t^2, tan t, 3). Nosso objetivo aqui é descobrir o domínio dessa função e também das suas primeiras e segundas derivadas, ou seja, r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t). Para isso, vamos precisar entender onde cada componente da função é definida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função original r(t) = (t^2, tan t, 3). O domínio de uma função vetorial é o conjunto de todos os valores de t para os quais cada componente da função está definida.
  • Componente t^2: Essa é uma função polinomial simples, e sabemos que t^2 está definida para todos os números reais.
  • Componente tan t: A tangente de t está definida para todos os valores de t onde o cosseno de t não é zero, ou seja, quando t neq pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.
  • Componente constante 3: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Então, o domínio de r(t) é todos os valores de t onde tan t está definida, já que as outras componentes não restringem o domínio.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função r(t) para encontrar r^prime(t). A derivada de uma função vetorial é dada pela derivada de cada uma das suas componentes:
r^prime(t) = (ddt t^2, ddt tan t, ddt 3) = (2t, sec^2 t, 0)
Vamos analisar o domínio de r^prime(t):
  • Componente 2t: Está definida para todos os números reais.
  • Componente sec^2 t: A secante é o inverso do cosseno, então sec t está definida quando cos t neq 0, ou seja, t neq pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.
  • Componente 0: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de r^prime(t) é o mesmo da função original, ou seja, todos os t onde t neq pi2 + kpi.

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada r^prime prime(t). Derivando novamente cada componente de r^prime(t):
r^prime prime(t) = (ddt 2t, ddt sec^2 t, ddt 0) = (2, 2sec^2 t tan t, 0)
Analisando o domínio de r^prime prime(t):
  • Componente 2: Está definida para todos os números reais.
  • Componente 2sec^2 t tan t: Tanto sec t quanto tan t estão definidas quando cos t neq 0, ou seja, t neq pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.
  • Componente 0: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Assim, o domínio de r^prime prime(t) também é o mesmo, com t neq pi2 + kpi.

Resposta

O domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t) é todos os números reais t tais que t neq pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.

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