Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de
e
.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função vetorial
. Nosso objetivo aqui é descobrir o domínio dessa função e também das suas primeiras e segundas derivadas, ou seja,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender onde cada componente da função é definida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função original
. O domínio de uma função vetorial é o conjunto de todos os valores de
para os quais cada componente da função está definida.
- Componente
: Essa é uma função polinomial simples, e sabemos que está definida para todos os números reais. - Componente
: A tangente de está definida para todos os valores de onde o cosseno de não é zero, ou seja, quando , onde é qualquer inteiro. - Componente constante
: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Então, o domínio de
é todos os valores de
onde
está definida, já que as outras componentes não restringem o domínio.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
para encontrar
. A derivada de uma função vetorial é dada pela derivada de cada uma das suas componentes:
Vamos analisar o domínio de
:
- Componente
: Está definida para todos os números reais. - Componente
: A secante é o inverso do cosseno, então está definida quando , ou seja, , onde é qualquer inteiro. - Componente
: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de
é o mesmo da função original, ou seja, todos os
onde
.
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada
. Derivando novamente cada componente de
:
Analisando o domínio de
:
- Componente
: Está definida para todos os números reais. - Componente
: Tanto quanto estão definidas quando , ou seja, , onde é qualquer inteiro. - Componente
: Como é uma constante, está definida para todos os números reais.
Assim, o domínio de
também é o mesmo, com
.
Resposta
O domínio de
,
e
é todos os números reais
tais que
, onde
é qualquer inteiro.