Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x)=(x^2+1)/(x-1)

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma série de potências que represente a função e também especificar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e séries de potências, especialmente a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos dividir o polinômio do numerador pelo denominador:
Fazendo a divisão polinomial:
  1. Divide-se por , resultando em .
  2. Multiplica-se por , dando .
  3. Subtrai-se esse resultado do numerador original:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a fração restante de forma que possamos aplicar a série geométrica. Observamos que:
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Então, substituindo na expressão da função:

Passo 4

Juntando tudo, a função pode ser expressa como:
Essa é a série de potências que representa .

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica converge quando . Como multiplicamos essa série por uma constante e somamos termos polinomiais que não afetam a convergência, o raio de convergência permanece:

Resposta

A série de potências que representa é:
E o raio de convergência dessa série é .

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