Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = x^2 / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma série de potências que represente a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são muito úteis para representar funções em forma de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
Essa série converge quando . Nosso objetivo é manipular a função para que ela se pareça com a forma da série geométrica.

Passo 3

Observe que pode ser escrita como:
Aqui, a parte já está na forma da série geométrica, onde .

Passo 4

Agora, substituímos pela na série geométrica:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Finalmente, determinamos o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências que representa é
e o raio de convergência dessa série é 1.

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