Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços 
  e 
 , onde 
  e 
  são subespaços do espaço vetorial 
  indicado.
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 .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os subespaços 
  e 
  onde 
  e 
  são subespaços de um espaço vetorial 
 . No caso, 
  é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por 
 . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços, soma de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os subespaços 
  e 
 .
- 
Subespaço
: Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a segunda derivada de é zero em todos os pontos.  - 
Subespaço
: Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a primeira derivada de é zero em todos os pontos.  
Passo 3
Vamos determinar a forma geral dos polinômios em 
  e 
 .
- 
Para
: Sabemos que. Vamos considerar que é um polinômio de grau no máximo 3: Calculando a segunda derivada:Para quepara todo , os coeficientes devem satisfazer: Portanto, os polinômios emtêm a forma: Ou seja,é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1.  - 
Para
: Sabemos que. Vamos considerar que é um polinômio de grau no máximo 3: Calculando a primeira derivada:Para quepara todo , os coeficientes devem satisfazer: Portanto, os polinômios emtêm a forma: Ou seja,é o conjunto de todos os polinômios constantes.  
Passo 4
Agora, vamos encontrar 
  e 
 .
- 
Para
: A soma de dois subespaçose é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de : Sabemos que:Então:Perceba queé simplesmente uma constante, já que e são constantes reais. Portanto, consiste em todos os polinômios lineares da forma , onde é uma constante. Observamos queé igual a porque já está contido em . Isso porque todo polinômio constante (elemento de ) também é um polinômio de grau no máximo 1 (elemento de ).  - 
Para
: A interseção de dois subespaçose é o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e a : De, temos e de , temos . Para que um polinômio pertença a ambos, ele deve ser constante e também ter a forma . Isso só é possível se. Assim, . Portanto,é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja, .  
Resposta
- 
, que consiste em todos os polinômios da forma .  - 
, que consiste em todos os polinômios constantes.