Em cada um dos itens abaixo, estabeleça a série de Maclaurin de f(x). f(x) = e^(-x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos estabelecer a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma série de Maclaurin e como aplicá-la a funções exponenciais como a que temos aqui.

Passo 2

A série de Maclaurin para uma função é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em 0, e é o fatorial de n. Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de , avaliá-las em 0 e então montar a série.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em 0:
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em 0:
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em 0:
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em 0:
Observamos um padrão: as derivadas alternam entre e , e os valores avaliados em 0 alternam entre 1 e -1.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso continua infinitamente, seguindo o padrão de sinais alternados e fatores fatoriais no denominador.

Resposta

A série de Maclaurin de é:

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