Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
(b) Um sistema formado por uma peça original mais uma sobressalente pode funcionar por uma quantidade de tempo aleatória X. Se a densidade de X é dada, em unidades de meses, por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x e^{\frac{-x}{2}}, & x>0, \\\ 0, & x \leq 0 .\end{array}\right.
Determine E(X) e \operatorname{var}(X).

Passo 1

O enunciado diz que X\) tem densidade \[f(x)= \begin{cases} C\,x\,e^{-x/2},&x>0,\\\\ 0,&x\le0, \end{cases}
e pede E(X)\] e \(\mathrm{Var}(X). Vamos usar a condição de normalização para encontrar C e depois calcular as integrais de momento.

Passo 2

Determinar C impondo
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}C\,x\,e^{-x/2}dx =1.
Sabendo que
\int_{0}^{\infty}x\,e^{-ax}dx=\frac{1}{a^{2}},
para a=\tfrac12 obtemos \int_{0}^{\infty}x\,e^{-x/2}dx=4. Logo
C\cdot4=1 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac14.

Passo 3

Calcular E(X):
E(X) =\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}x\;\Bigl(\tfrac14\,x\,e^{-x/2}\Bigr)dx =\tfrac14\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x/2}dx.
Usamos
\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-ax}dx =\frac{2!}{a^{3}},
para a=\tfrac12 2!/(1/2)^{3}=16. Então
E(X)=\tfrac14\cdot16=4.

Passo 4

Calcular E(X^{2}) e então \mathrm{Var}(X):
E(X^{2}) =\int_{0}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx =\tfrac14\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-x/2}dx
e
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-ax}dx =\frac{3!}{a^{4}}
para a=\tfrac12 6/(1/2)^{4}=96. Logo
E(X^{2})=\tfrac14\cdot96=24.
Finalmente
\mathrm{Var}(X) =E(X^{2})-[E(X)]^{2} =24-4^{2} =24-16 =8.

Resposta

E(X)=4 meses
\mathrm{Var}(X)=8 meses²

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