Para cada um dos itens a seguir, determinar as repostas das expressões na forma retangular;
(10+5 j)(10-5 j)\left(3 \angle 40^{\circ}\right)+2

Passo 1

O enunciado dá a expressão
(10+5\,j)(10-5\,j)\left(3\angle 40^\circ\right)+2
e pede que a resposta seja apresentada na forma retangular (isto é, a + j b, com a e b números reais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • j é a unidade imaginária, com j^2=-1.
  • 3\angle 40^\circ é a representação polar, significando um número complexo com módulo 3 e argumento 40^\circ.
  • A forma retangular significa escrever o resultado como a + j b.

Passo 2

Primeiro calcule o produto (10+5\,j)(10-5\,j). Note que 10-5\,j é o conjugado de 10+5\,j. Há uma propriedade útil: o produto de um número complexo pela sua conjugada é a soma dos quadrados das partes real e imaginária. Ou seja,
(a+ b\,j)(a- b\,j)=a^2+b^2.
Aplicando com a=10 e b=5:
(10+5\,j)(10-5\,j)=10^2+5^2=100+25=125.

Passo 3

Agora multiplicar esse resultado por 3\angle 40^\circ. Primeiro interpretar 3\angle 40^\circ como um número complexo em forma polar: módulo 3 e argumento 40^\circ. Então
125\cdot\left(3\angle 40^\circ\right)=125\cdot 3\angle 40^\circ=375\angle 40^\circ.

Passo 4

Converter de forma polar para retangular. A conversão usa as fórmulas
\text{se } z=r\angle\theta,\quad\text{então } z=r\cos\theta + j\,r\sin\theta,ã
onde r é o módulo e \theta o argumento (em graus aqui). Aplicando com r=375 e \theta=40^\circ:
375\angle 40^\circ = 375\cos 40^\circ + j\,375\sin 40^\circ.

Passo 5

Agora calcular os valores numéricos de \cos 40^\circ e \sin 40^\circ. Usando as aproximações trigonométricas padrão:
\cos 40^\circ \approx 0,7660444431,\qquad \sin 40^\circ \approx 0,6427876097.
Multiplicando pelo módulo 375 (faço a conta em duas parcelas para ficar mais claro):
375\cos 40^\circ = 375\cdot 0,7660444431 = 300\cdot 0,7660444431 + 75\cdot 0,7660444431 \approx 229,81333293 + 57,4533332325 \approx 287,2666661625,
375\sin 40^\circ = 375\cdot 0,6427876097 = 300\cdot 0,6427876097 + 75\cdot 0,6427876097 \approx 192,83628291 + 48,2090707275 \approx 241,0453536375.
Portanto
375\angle 40^\circ \approx 287,2666661625 + j\,241,0453536375.

Passo 6

Falta somar o +2 real que estava no enunciado. Somando 2 à parte real:
287,2666661625 + 2 = 289,2666661625.
Arredondando de forma razoável (por exemplo, três casas decimais) obtemos
289,267 + j\,241,045.

Resposta

289,267 + j\,241,045

Exercícios relacionados