Para cada um dos itens a seguir, determinar as repostas das expressões na forma retangular;
\frac{10+5 j}{8-j}+2 \underline{60^{\circ}}+1

Passo 1

O enunciado pede para escrever em forma retangular a expressão
\frac{10+5j}{8-j}+2\underline{60^{\circ}}+1.
Observações e informações dadas:
  • j é a unidade imaginária, com j^{2}=-1.
  • Vou interpretar 2\underline{60^{\circ}} como um fasor em forma polar, isto é, 2\angle 60^\circ (módulo 2 e argumento 60^\circ). O objetivo é somar os três termos e obter um número complexo na forma retangular x + j y.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a divisão \dfrac{10+5j}{8-j}. Método: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para ficar um número real no denominador.
Regra usada (breve aula): o conjugado de 8-j é 8+j. Multiplicar por \dfrac{8+j}{8+j} não muda o valor, mas transforma o denominador em 8^{2}-j^{2}=64-(-1)=65. Isso facilita a divisão.
Então
\frac{10+5j}{8-j}=\frac{(10+5j)(8+j)}{(8-j)(8+j)}.

Passo 3

Calcular o produto no numerador e o denominador:
Numerador:
(10+5j)(8+j)=10\cdot 8 + 10\cdot j + 5j\cdot 8 + 5j\cdot j =80 + 10j + 40j + 5 j^{2}.
Como j^{2}=-1, tem-se
80 + 50j + 5(-1)=80 + 50j -5 =75 + 50j.
Denominador:
(8-j)(8+j)=8^{2}-j^{2}=64-(-1)=65.
Logo
\frac{10+5j}{8-j}=\frac{75+50j}{65}=\frac{75}{65}+j\frac{50}{65}.
Simplificando as frações:
\frac{75}{65}=\frac{15}{13},\qquad \frac{50}{65}=\frac{10}{13}.
Portanto
\frac{10+5j}{8-j}=\frac{15}{13}+j\frac{10}{13}.

Passo 4

Agora converter 2\angle 60^\circ para forma retangular. Fórmula (breve aula): um número complexo em forma polar r\angle\theta é igual a r(\cos\theta + j\sin\theta). Aqui \theta está em graus; usando valores trigonométricos conhecidos:
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
2\angle 60^\circ = 2\big(\cos 60^\circ + j\sin 60^\circ\big) =2\big(\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) =1 + j\sqrt{3}.

Passo 5

Somar os três termos já em forma retangular:
\frac{10+5j}{8-j}+2\angle 60^\circ+1 =\left(\frac{15}{13}+j\frac{10}{13}\right)+(1+j\sqrt{3})+1.
Agrupando parte real e parte imaginária:
  • parte real: \dfrac{15}{13}+1+1=\dfrac{15}{13}+2=\dfrac{15+26}{13}=\dfrac{41}{13}.
  • parte imaginária: \dfrac{10}{13}+\sqrt{3}.
Portanto o resultado em forma retangular é
\frac{41}{13}+j\!\left(\frac{10}{13}+\sqrt{3}\right).

Resposta

\dfrac{41}{13}+j\!\left(\dfrac{10}{13}+\sqrt{3}\right)

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