Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
\mathrm{H}_{2} \mathrm{C}=\mathrm{C}=\mathrm{CH}_{2} (atenção: a molécula não é plana pois o plano dos hidrogênios da direita é perpendicular ao plano dos hidrogênios da esquerda)

Passo 1

O enunciado pede, para a molécula \mathrm{H}_2\mathrm{C}=\mathrm{C}=\mathrm{CH}_2 (alleno, com os planos dos hidrogênios terminais perpendiculares entre si):\n
a) identificar todas as operações de simetria da molécula;\n
b) especificar os eixos x, y e z que usaremos na descrição;\n
c) determinar o grupo de pontos da molécula.\n
Informação dada importante: a molécula não é plana — o plano contendo os dois hidrogênios do grupo \mathrm{CH}_2 de um lado é perpendicular ao plano contendo os dois hidrogênios do outro lado. Eu vou usar essa geometria na resolução.

Passo 2

Rápida revisão didática dos tipos de operações de simetria (pra você não se perder nas palavras):\n
  • E: identidade — faz nada, sempre existe.\n
  • C_n: rotação de 360^\circ/n ao redor de um eixo (por exemplo C_2 é rotação de 180^\circ).\n
  • \sigma: reflexão em um plano (escrevemos \sigma_v se o plano é vertical, \sigma_h se é horizontal, \sigma_d se é um plano diagonal que bisecta ângulos entre eixos).\n
  • i: inversão no centro.\n
  • S_n: rotação imprópria: rotação por 360^\circ/n seguida de reflexão em um plano perpendicular ao eixo da rotação.\n
    Vou aplicar esses conceitos à geometria do alleno.

Passo 3

Definição conveniente de eixos (vou escolher uma orientação clara para rastrear cada operação):\n
  • tomo o eixo z como o eixo que passa pelos três átomos de carbono (a cadeia C–C–C), isto é, o eixo molecular longitudinal.\n
  • coloco o grupo \mathrm{CH}_2 do “lado esquerdo” com seu plano de hidrogênios no plano x\!z. Assim os dois hidrogênios desse \mathrm{CH}_2 têm coordenadas aproximadas (\pm r,\,0,\,+a).\n
  • coloco o grupo \mathrm{CH}_2 do “lado direito” com seu plano de hidrogênios no plano y\!z (perpendicular ao plano x\!z). Assim os dois hidrogênios desse outro \mathrm{CH}_2 têm coordenadas aproximadas (0,\,\pm r,\,-a).\n
    Explicando em palavras simples: as hidrogênias do terminal superior estão alinhadas ao longo do eixo x (com y=0), e as do terminal inferior estão alinhadas ao longo do eixo y (com x=0). Esse sistema de coordenadas respeita a condição “planos perpendiculares” dada no enunciado.

Passo 4

Operação trivial: E.\n
Sempre temos a identidade E — não vou enrolar: é uma operação de simetria.

Passo 5

Verificando um eixo de rotação C_2 ao longo de z:\n
  • A rotação C_2(z) é uma rotação de 180^\circ em torno do eixo z. Em coordenadas: (x,y,z)\mapsto(-x,-y,z).\n
  • Aplicando essa rotação às posições que tomamos: os hidrogênios do \mathrm{CH}_2 em z=+a trocam entre si (\pm r,0,+a)\mapsto(\mp r,0,+a); os hidrogênios do \mathrm{CH}_2 em z=-a também trocam (0,\pm r,-a)\mapsto(0,\mp r,-a). Os carbonos ficam no próprio eixo e apenas se giram em torno de si.\n
    Conclusão: a rotação C_2(z) deixa a molécula inalterada como um todo — é uma operação de simetria válida.

Passo 6

Existência das rotações impróprias S_4 em torno de z: explicar o porquê.\n
  • Considere a operação S_4 que faz: rotação de +90^\circ em torno de z seguida de reflexão em um plano perpendicular a z (isto é, reflexão que troca z por -z).\n
  • Tomemos um hidrogênio do \mathrm{CH}_2 superior em (r,0,+a). Rotacionando +90^\circ em torno de z (0,r,+a). Depois refletir em z\mapsto -z (0,r,-a) — justamente a posição de um hidrogênio do \mathrm{CH}_2 inferior. Portanto S_4 leva hidrogênios do lado superior para hidrogênios do lado inferior de maneira consistente com a geometria.\n
  • A operação inversa S_4^3 (rotacionar -90^\circ e refletir) também funciona. Além disso, S_4^2 é igual a uma rotação C_2(z) (pois duas rotações de 90^\circ somam 180^\circ e duas reflexões pelo plano perpendicular cancelam em relação à posição final), então já contamos isso.\n
    Conclusão: há \;S_4 e \;S_4^3 como operações de simetria.

Passo 7

Existência de dois eixos C_2' perpendiculares ao eixo z: descrição geométrica e efeito.\n
  • No grupo D_{2d} (que é o que estamos construindo), além do eixo principal z (= eixo do tipo C_2/ S_4), existem dois eixos C_2' que são perpendiculares a z e passam pelo carbono central; eles trocam as duas extremidades e também permutam hidrogênios de forma consistente.\n
  • No nosso sistema de coordenadas os eixos C_2' não coincidem com os eixos x e y escolhidos (porque rotações de 180^\circ em torno de x ou y não levariam os hidrogênios exatamente nas posições necessárias). Em vez disso, esses C_2' estão inclinados 45^\circ em relação aos eixos x e y — isto é, ao longo das direções que bissetam os ângulos entre os planos dos hidrogênios.\n
  • Operacionalmente: cada um desses C_2' é uma rotação de 180^\circ que troca o grupo \mathrm{CH}_2 superior com o inferior e reordena os dois hidrogênios de cada terminal de maneira que a molécula fica indistinguível.\n
    Conclusão: existem dois eixos C_2' perpendiculares a z.

Passo 8

Existência de dois planos \sigma_d (planos diagonais) contendo o eixo z:\n
  • Um plano \sigma_d contém o eixo z e bisseta o ângulo entre os dois planos dos hidrogênios. Esse plano refletirá um hidrogênio do lado superior em um hidrogênio do lado inferior (ou trocará hidrogênios entre si), de forma compatível com a geometria perpendicular dos planos. Há dois desses planos diagonais distintos (cada um bissetando o ângulo entre as direções dos pares de hidrogênios).\n
  • Observe que não existe um plano \sigma_v que contenha z e deixe cada \mathrm{CH}_2 inalterado (porque os planos dos hidrogênios dos dois terminais são perpendiculares), logo os espelhos presentes são do tipo diagonal ( \sigma_d) e não do tipo vertical simples ( \sigma_v) nem horizontal ( \sigma_h).\n
    Conclusão: há duas operações \sigma_d.

Passo 9

Resumo e lista final das operações de simetria (item a) — explicando de maneira direta:\n
As operações de simetria da molécula são: \n
  • E (identidade),\n
  • C_2(z) (rotação de 180^\circ em torno do eixo molecular z),\n
  • dois eixos C_2' (duas rotações de 180^\circ em eixos perpendiculares a z que trocam as extremidades),\n
  • S_4 e S_4^3 (duas rotações impróprias de ordem 4 em torno de z: +90^\circ/reflexão e -90^\circ/reflexão),\n
  • duas reflexões \sigma_d (dois planos diagonais que contêm z e bissetam os planos dos hidrogênios).\n
    Observação útil: S_4^2=C_2(z), então a lista acima tem exatamente as 8 operações que caracterizam o grupo D_{2d}.

Passo 10

Especificação explícita dos eixos x,y,z pedida no item (b):\n
  • z: eixo principal, ao longo da cadeia de carbonos (linha C–C–C).\n
  • x: escolhi de modo que o plano dos hidrogênios do \mathrm{CH}_2 superior esteja no plano x\!z; assim os hidrogênios desse terminal têm coordenadas aproximadas (\pm r,\,0,\,+a).\n
  • y: perpendicular a x e z; o plano dos hidrogênios do \mathrm{CH}_2 inferior está no plano y\!z, com hidrogênios em (0,\,\pm r,\,-a).\n
    Comentário prático: com essa escolha as operações S_4 e \sigma_d ficam fáceis de visualizar (veja os passos anteriores).

Passo 11

Determinação do grupo de pontos (item c) e justificativa curta:\n
  • Nós achamos 8 operações: E,\\ C_2(z),\\\ 2C_2',\\ S_4,\\ S_4^3,\\\ 2\sigma_d.\n
  • O conjunto com exatamente essas operações é o grupo de pontos D_{2d}.\n
    Portanto o grupo de pontos da molécula é D_{2d}.

Resposta

a) E,\\ C_2(z),\\\ 2\,C_2' (dois eixos C_2 perpendiculares a z), S_4 e S_4^3, 2\,\sigma_d.\n
b) eixo z: ao longo da cadeia C–C–C; eixo x: plano dos H do \mathrm{CH}_2 superior está em x\!z; eixo y: perpendicular a x e z, plano dos H do \mathrm{CH}_2 inferior está em y\!z.\n
c) grupo de pontos: D_{2d}.

Exercícios relacionados