Em cada parte, determine dois vetores unitários no espaço bidimensional que satisfaçam a condição dada.
a) Paralelo à reta y=3 x+2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar dois vetores unitários no espaço bidimensional que sejam paralelos à reta . Aqui, estamos trabalhando com vetores, que são objetos com magnitude (tamanho) e direção, e vetores unitários, que são vetores com magnitude igual a 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor diretor da reta 1 3 . A inclinação dessa reta é 3, o que significa que para cada 1 unidade que avançamos no eixo x, a reta sobe 3 unidades no eixo y. Portanto, um vetor que representa essa direção é .

Passo 3

Agora, para obter um vetor unitário, devemos normalizar o vetor diretor, ou seja, ajustar seu tamanho para que sua magnitude seja 1. A fórmula para encontrar a magnitude a b de um vetor ||v|| = raiza^2 + b^2 é:
1 3
Aplicando isso ao nosso vetor ||v|| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10 :

Passo 4

Para normalizar o vetor u = v||v|| = 1raiz10 1 3 = 1raiz10 3raiz10 , dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude:
Esse é um dos vetores unitários que são paralelos à reta dada.

Passo 5

O segundo vetor unitário paralelo à reta será na direção oposta. Para isso, simplesmente mudamos o sinal de cada componente do vetor unitário que encontramos:
u' = -u = -1raiz10 -3raiz10

Resposta

Os dois vetores unitários paralelos à reta u = dfrac1raiz10 dfrac3raiz10 e u' = -dfrac1raiz10 -dfrac3raiz10 são:

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