Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, caso positivo, dê a razão disso. Não calcule as integrais.
\int_{\pi / 4}^{\pi} \operatorname{cotg} x dx

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{\pi/4}^{\pi}\cot x\,dx
e pede para determinar se ela é imprópria e, em caso afirmativo, a razão disso. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias, em que precisamos verificar descontinuidades ou divergências do integrando no intervalo de integração.

Passo 2

Observamos que
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
é descontínua sempre que \sin x=0, ou seja, em x=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Nesses pontos o integrando tende a \pm\infty.

Passo 3

No intervalo de integração [\pi/4,\pi] o único valor de x em que \sin x=0 é x=\pi, exatamente o limite superior. Não há outras descontinuidades no interior do intervalo.

Passo 4

Como \cot x fica não limitada quando x\to\pi^-, a integral apresenta integrando não limitado no limite de integração. Logo ela é imprópria.

Resposta

A integral é imprópria, pois \cot x diverge em x=\pi (onde \sin x=0).

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