Em cada parte, determine se \mathbf{u e v} fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais.
\mathbf{u}=\langle 1,1,1\rangle, \mathbf{v}=\langle-1,0,0\rangle

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{u} = \langle 1,1,1\rangle e \mathbf{v} = \langle -1,0,0\rangle, e pede para decidir se o ângulo entre eles é agudo, obtuso ou ortogonal. Para isso, vamos usar o produto escalar e sua relação com o cosseno do ângulo.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, vale
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \;=\;\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\|\;\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Assim, se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}>0, o ângulo é agudo; se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}<0, é obtuso; e se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, é reto (ortogonal).

Passo 3

Calculando o produto escalar de \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = (1)(-1) + (1)(0) + (1)(0) = -1.

Passo 4

Como \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -1 < 0, isso implica \cos\theta<0. Portanto, o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é obtuso.

Resposta

O ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é obtuso.

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