Em cada parte, encontre todos os valores de
com os quais a série converge e encontre a soma da série com aqueles valores de
.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pede, primeiro, para achar os valores de
em que essa série converge; e depois, para determinar a soma da série nesses valores de
. O conteúdo principal aqui é série geométrica infinita.
Passo 2
Para reconhecer a série como geométrica, note que o primeiro termo é
e a razão entre termos sucessivos é
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica infinita com termos
converge se, e somente se,
No nosso caso,
é sempre positivo, então a condição vira
Logo, a série converge para todo
.
Passo 4
Quando
, a soma de uma série geométrica infinita é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Podemos simplificar a expressão de
multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A série converge para
e, nesse caso,