Em cada parte, explicite a substituição trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
\int \sqrt{9+3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{9 + 3 x^{2}}\;dx
e quer apenas a substituição trigonométrica inicial. Como temos uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}+u^{2}}, vamos usar a substituição
u = x,\qquad a^{2}=3\quad\text{ou}\quad a=\sqrt{3}.

Passo 2

Fatoramos dentro da raiz:
\sqrt{9 + 3 x^{2}} = \sqrt{3}\,\sqrt{3 + x^{2}} = \sqrt{3}\,\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + x^{2}}.
Para eliminar a forma \sqrt{a^{2}+u^{2}}, escolhemos
x = \sqrt{3}\,\tan(\theta),
de onde
dx = \sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta
e
\sqrt{9 + 3 x^{2}} = \sqrt{3}\,\operatorname{sec}(\theta).

Resposta

A substituição trigonométrica inicial é
x = \sqrt{3}\,\tan(\theta),\quad dx = \sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta.

Exercícios relacionados