Em cada parte, explicite a substituição trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
\int \sqrt{1+(9 x)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar a substituição trigonométrica que usaríamos para calcular
\int \sqrt{1+(9x)^{2}}\;dx
sem, de fato, resolver a integral. O conteúdo é o uso de substituição do tipo
\sqrt{1+(a\,x)^{2}}\quad\longrightarrow\quad a\,x = \tan(\theta).

Passo 2

Como temos \sqrt{1+(9x)^{2}}, escolhemos
9x = \tan(\theta).
Isso implica
x = \frac{1}{9}\,\tan(\theta),
dx = \frac{1}{9}\,\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta,
\sqrt{1+(9x)^{2}} = \sqrt{1+\tan^{2}(\theta)} = \operatorname{sec}(\theta).

Resposta

9x = \tan(\theta)
x = \frac{1}{9}\tan(\theta)
dx = \frac{1}{9}\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta
\sqrt{1+(9x)^{2}} = \operatorname{sec}(\theta)

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