Em cada parte, explicite a substituiçăo trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
\int \sqrt{1-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{1 - 9x^{2}}\,dx
e quer apenas a substituição trigonométrica inicial. O conteúdo é o uso de substituições para integrais do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}. Vamos escolher a substituição que anula o radical.

Passo 2

Para \sqrt{1 - 9x^{2}} usamos a^{2}=1 e x^{2} multiplicado por 9. A substituição padrão é
x = \frac{1}{3}\,\sin\theta,
porque assim
9x^{2} = 9\Bigl(\frac{1}{3}\sin\theta\Bigr)^{2} = \sin^{2}\theta
e
\sqrt{1 - 9x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \cos\theta.
Além disso,
dx = \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta.

Resposta

x = \frac{1}{3}\,\sin\theta,\qquad dx = \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta.

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