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Em cada parte, são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A. Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a E e mostre que, aplicando essas operações a A, o resultado é o produto E A.
E=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{rrrr}-1 & -2 & 5 & -1 \\\\ 3 & -6 & -6 & -6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz elementar
E = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 & -1 \\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}.
Queremos identificar qual operação elementar de linha corresponde a E e mostrar que, ao aplicá-la em A, obtemos o produto EA. O conteúdo aqui é a relação entre matrizes elementares e operações de linhas.]

Passo 2

Uma matriz elementar obtida permutando as linhas canonicamente corresponde a trocar duas linhas de qualquer matriz que lhe for multiplicada à esquerda. Como
E_{ij} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix}
é exatamente a matriz que faz
R_{1} \;\longleftrightarrow\; R_{2},
a operação elementar associada a E é: “trocar a linha 1 com a linha 2”.]

Passo 3

Aplicando “ R_{1}\leftrightarrow R_{2}” em A, trocamos as duas linhas de
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 & -1 \\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix},
ficando
A' = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 & -6 \\[3pt] -1 & -2 & 5 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos calcular diretamente
EA = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 & -1 \\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}.
Multiplicando, a primeira linha de EA é
0\cdot(-1,-2,5,-1) + 1\cdot(3,-6,-6,-6) = (3,-6,-6,-6),
e a segunda linha é
1\cdot(-1,-2,5,-1) + 0\cdot(3,-6,-6,-6) = (-1,-2,5,-1).
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EA = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 & -6 \\[3pt] -1 & -2 & 5 & -1 \end{pmatrix} = A'.]

Resposta

EA = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 & -6 \\[3pt] -1 & -2 & 5 & -1 \end{pmatrix},
obtido pela operação elementar de linha R_{1}\leftrightarrow R_{2} aplicada a A.]

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