Em cada parte, são dadas uma matriz elementar $E$ e uma matriz $A$ . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a $E$ e mostre que, aplicando essas operações a $A$ , o resultado é o produto $E A$ .
$E=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -3 & 1\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 0 & -4 & -4 \\\\ 1 & -3 & -1 & 5 & 3 \\\\ 2 & 0 & 1 & 3 & -1\end{array}\right]$

Passo 1

O enunciado fornece a matriz elementar

E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}

e a matriz

A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -4 & -4\\\\ 1 & -3 & -1 & 5 & 3\\\\ 2 & 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

O conteúdo envolve entender que multiplicar

A

à esquerda por

E

equivale a executar em

A

a operação de linha que gerou

E

. Vamos identificar essa operação e aplicá-la a

A

para verificar que o resultado é

EA

Passo 2

A matriz

E

difere da identidade apenas na terceira linha, que é

(0,\,-3,\,1)

. Isso indica que partimos da matriz identidade

I_3

e substituímos a linha 3 por

R_{3}\leftarrow R_{3}-3\,R_{2}.

Portanto a operação elementar de linhas correspondente a

E

R_{3}\;\longleftarrow\;R_{3}-3\,R_{2}.

Passo 3

Vamos aplicar a operação

R_{3}\leftarrow R_{3}-3\,R_{2}

A

. As linhas 1 e 2 permanecem iguais, e a nova linha 3 é obtida subtraindo de cada entrada da linha 3 de

A

três vezes a entrada correspondente da linha 2 de

A

. Assim:

Linha 1:

(2,\,-1,\,0,\,-4,\,-4)

Linha 2:

(1,\,-3,\,-1,\,5,\,3)

Linha 3 original:

(2,\,0,\,1,\,3,\,-1)

Para a nova linha 3 calculamos entrada a entrada:

\begin{aligned} a'_{31}&=2-3\cdot1=-1,\\\ a'_{32}&=0-3\cdot(-3)=9,\\\ a'_{33}&=1-3\cdot(-1)=4,\\\ a'_{34}&=3-3\cdot5=-12,\\\ a'_{35}&=-1-3\cdot3=-10. \end{aligned}

Logo, aplicando a operação em

A

obtemos

\widetilde A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -4 & -4\\\\ 1 & -3 & -1 & 5 & 3\\\\ -1 & 9 & 4 & -12 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o produto

EA

. Como

E

só altera a linha 3, temos
Linha 1 de

EA

= linha 1 de

A

,
Linha 2 de

EA

= linha 2 de

A

,
Linha 3 de

EA

(0,-3,1)

\times

A

-3

\times

linha 2 de

A

+

linha 3 de

A

,
que dá exatamente

(-1,9,4,-12,-10)

. Assim

EA= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -4 & -4\\\\ 1 & -3 & -1 & 5 & 3\\\\ -1 & 9 & 4 & -12 & -10 \end{pmatrix},

igual a

\widetilde A

Resposta

A operação elementar é

R_{3}\leftarrow R_{3}-3\,R_{2},

e aplicando-a em

A