Em cada parte, são dadas uma matriz elementar $E$ e uma matriz $A$ . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a $E$ e mostre que, aplicando essas operações a $A$ , resultado é o produto $E A$ .
$E=\left[\begin{array}{rr}-6 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{rrrr}-1 & -2 & 5 & -1 \\\\ 3 & -6 & -6 & -6\end{array}\right]$

O enunciado fornece a matriz elementar

E = \begin{pmatrix}-6 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}

e a matriz

A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 & -1\\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}.

O conteúdo é matrizes elementares e operações elementares de linha. Nosso objetivo é identificar qual operação de linhas gera

E

a partir da identidade e então aplicar essa mesma operação em

A

, mostrando que o resultado é exatamente

E\,A

Para descobrir a operação de linha que gera

E

, note que

E

resulta de aplicar a operação em cada linha da matriz identidade

I_2

. Como a primeira linha de

E

(-6,0)

, isso corresponde a multiplicar a primeira linha de

I_2

(que é

(1,0)

) por

-6

. A segunda linha de

E

permanece

(0,1)

, ou seja, não se altera. Logo, a operação elementar de linhas é:

\text{R}_1 \;\gets\;-6\,\text{R}_1.

Aplicando

\text{R}_1 \gets -6\,\text{R}_1

A

A primeira linha de $A$ é $(-1,\,-2,\,5,\,-1)$ . Multiplicando por $-6$ obtemos $(6,\,12,\,-30,\,6)$ .
A segunda linha permanece $(3,\,-6,\,-6,\,-6)$ .
Denotando o resultado por $A'$ , temos

A' = \begin{pmatrix} 6 & 12 & -30 & 6\\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}.

]

Agora calculamos o produto

E\,A

. Pela definição de multiplicação de matrizes, a primeira linha de

E\,A

-6

vezes a primeira linha de

A

, e a segunda linha de

E\,A

é igual à segunda linha de

A

. Portanto

E\,A \;=\; \begin{pmatrix}-6 & 0\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 & -1\\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 6 & 12 & -30 & 6\\[3pt] 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix},

que coincide com

A'

obtido no passo anterior.]

E\,A \;=\; \begin{pmatrix} 6 & 12 & -30 & 6\\\\ 3 & -6 & -6 & -6 \end{pmatrix},

e a operação elementar de linhas correspondente é

\text{R}_1 \;\gets\;-6\,\text{R}_1.

Exercícios relacionados