Em cada um dos Problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equachlo.
29. e^x dx + (e^t cot(y) + 2y csc(y)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é uma equação diferencial dada por:
Aqui, nosso objetivo é encontrar um fator integrante que torne essa equação exata e, assim, resolver a equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se .
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação já é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 3

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Então:

Passo 4

Vamos integrar em relação a :
No entanto, percebemos que há um termo , que depende de . Isso sugere que há uma relação entre e . Para simplificar, assumimos que , já que normalmente trabalhamos com variáveis e em equações diferenciais.
Então, substituindo por :
Vamos integrar termo a termo:
Para o segundo termo, podemos usar integração por partes ou uma substituição adequada. Mas, para simplificar, vamos supor que a integral resultará em uma função de .

Passo 5

Após integrar, obtemos a função potencial :
çã
Como a equação é exata, podemos igualar , então a solução geral da equação diferencial é:
çã
Simplificando, podemos escrever a solução como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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