Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa resolver uma equação diferencial que parece meio complicada:
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas, e pra resolver a gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que vai deixar ela exata.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
.
A fórmula para encontrar
é:
Vamos calcular isso:
Então:
Podemos simplificar para
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação está exata.
Passo 5
Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
à expressão correspondente da equação original:
Isso implica que
, então
é uma constante, que vamos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Podemos reescrever de forma mais simples:
Onde
é uma constante qualquer.