Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz. (3y^2 + 2xy) dx - (2xy + x^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa resolver uma equação diferencial que parece meio complicada: . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas, e pra resolver a gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que vai deixar ela exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, .
A fórmula para encontrar é:
Vamos calcular isso:
Então:
Podemos simplificar para .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação está exata.

Passo 5

Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a à expressão correspondente da equação original:
Isso implica que , então é uma constante, que vamos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Podemos reescrever de forma mais simples:
Onde é uma constante qualquer.

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