Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo
contendo
no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.)
ou seja, o ponto inicial é
.
As perguntas são, claramente:
As perguntas são, claramente:
- O P.V.I. admite solução?
- Se existir solução, ela é única?
- Qual é o maior intervalo
contendo no qual o teorema de existência e unicidade garante solução?
Passo 2
Vou escrever qual teorema vou usar e o que ele exige (vou explicar como se fosse uma receita fácil).
Teorema (existência e unicidade para ODE linear de segunda ordem): se uma equação tem a forma
Teorema (existência e unicidade para ODE linear de segunda ordem): se uma equação tem a forma
e as funções
,
,
são contínuas em um intervalo aberto
que contém
, então o problema de valor inicial
tem uma única solução definida em todo o intervalo
.
Explicando devagar: “contínuas” significa que não têm saltos nem infinitos em ; o teorema garante existência (pelo menos uma solução) e unicidade (não existem duas soluções diferentes que satisfaçam os mesmos dados no mesmo intervalo).
Explicando devagar: “contínuas” significa que não têm saltos nem infinitos em
Passo 3
Para aplicar o teorema preciso pôr a equação na forma padrão dividindo por
, mas isso só é permitido onde
. Para
obtemos
Assim identifiquei as funções
Passo 4
Agora verifico continuidade dessas funções no ponto inicial
.
-
é contínua em toda a reta (zero é continua everywhere). -
tem um ponto problemático em (ali o denominador some e não é definida nem contínua). Entretanto, em qualquer intervalo que não contenha , é contínua. Em particular, em qualquer intervalo que contenha e não contenha , é contínua (por exemplo é um deles). Como é finito, não há problema no ponto .
Passo 5
Pelo teorema, enquanto eu permanecer em um intervalo aberto que contenha
e não contenha
, existe e é única a solução do P.V.I. A presença da singularidade em
impede que o teorema garanta continuidade das coeficientes através de
. Portanto o maior intervalo aberto que contém
e no qual as funções
são contínuas é
(A outra componente
também tem coeficientes contínuos, mas não contém
, então não interessa para este P.V.I.)
Passo 6
Concluindo as três perguntas com justificativa curta:
- O P.V.I. admite solução porque, após escrever na forma padrão, os coeficientes são contínuos em algum intervalo que contém
. - A solução é única nesse intervalo por aplicação direta do teorema de existência e unicidade.
- O maior intervalo
contendo no qual o teorema garante solução é .
Resposta
Admite solução: Sim
Solução única: Sim
Maior intervalo :
Solução única: Sim
Maior intervalo