Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
(x-3) y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.)
(x-3)\,y''+y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0,
ou seja, o ponto inicial é x_{0}=0.
As perguntas são, claramente:
  • O P.V.I. admite solução?
  • Se existir solução, ela é única?
  • Qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução?

Passo 2

Vou escrever qual teorema vou usar e o que ele exige (vou explicar como se fosse uma receita fácil).
Teorema (existência e unicidade para ODE linear de segunda ordem): se uma equação tem a forma
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
e as funções p(x), q(x), r(x) são contínuas em um intervalo aberto I que contém x_{0}, então o problema de valor inicial
y(x_{0})=y_{0},\qquad y'(x_{0})=y_{1}
tem uma única solução definida em todo o intervalo I.
Explicando devagar: “contínuas” significa que não têm saltos nem infinitos em I; o teorema garante existência (pelo menos uma solução) e unicidade (não existem duas soluções diferentes que satisfaçam os mesmos dados no mesmo intervalo).

Passo 3

Para aplicar o teorema preciso pôr a equação na forma padrão dividindo por (x-3), mas isso só é permitido onde x-3\neq0. Para x\neq3 obtemos
y''+\frac{1}{x-3}\,y=0.
Assim identifiquei as funções
p(x)=0,\qquad q(x)=\frac{1}{x-3},\qquad r(x)=0.

Passo 4

Agora verifico continuidade dessas funções no ponto inicial x_{0}=0.
  • p(x)=0 é contínua em toda a reta (zero é continua everywhere).
  • q(x)=\dfrac{1}{x-3} tem um ponto problemático em x=3 (ali o denominador some e q não é definida nem contínua). Entretanto, em qualquer intervalo que não contenha 3, q é contínua. Em particular, em qualquer intervalo que contenha 0 e não contenha 3, q é contínua (por exemplo (-\infty,3) é um deles). Como q(0)=\dfrac{1}{0-3}=-\dfrac{1}{3} é finito, não há problema no ponto 0.

Passo 5

Pelo teorema, enquanto eu permanecer em um intervalo aberto que contenha 0 e não contenha 3, existe e é única a solução do P.V.I. A presença da singularidade em x=3 impede que o teorema garanta continuidade das coeficientes através de x=3. Portanto o maior intervalo aberto que contém 0 e no qual as funções p,q,r são contínuas é
J = (-\infty,3).
(A outra componente (3,\infty) também tem coeficientes contínuos, mas não contém 0, então não interessa para este P.V.I.)

Passo 6

Concluindo as três perguntas com justificativa curta:
  • O P.V.I. admite solução porque, após escrever na forma padrão, os coeficientes são contínuos em algum intervalo que contém x_{0}=0.
  • A solução é única nesse intervalo por aplicação direta do teorema de existência e unicidade.
  • O maior intervalo J contendo 0 no qual o teorema garante solução é J = (-\infty,3).

Resposta

Admite solução: Sim
Solução única: Sim
Maior intervalo J: (- \infty, 3)