Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
a. y'' + 3y' + 2y = t^2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não-homogênea:
Aqui, estamos trabalhando com equações lineares de segunda ordem. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a parte “homogênea” da nossa equação.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor uma solução particular na forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Agora igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Substituindo e :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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