Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p. y'' - y' - 2y = (e^t + e^(-t)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para resolver isso, a gente forma a equação característica substituindo por :
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Com essas raízes distintas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma combinação linear de e , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo na equação diferencial:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Isso reduz para:
Então, igualando os coeficientes:
Aqui percebemos que houve um erro na nossa hipótese, porque o termo com não está funcionando. Isso acontece porque é solução da parte homogênea. Então, precisamos multiplicar por para ajustar.

Passo 7

Vamos corrigir nossa hipótese assumindo:
Agora, vamos derivar novamente e substituir na equação para encontrar e .

Passo 8

Depois de fazer os cálculos (que são um pouco longos), encontramos que:
Então, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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