Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada
de um sinal, determine o número de zeros no plano
finito e o número de zeros no infinito.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de zeros no plano
finito e o número de zeros no infinito da função
Informações dadas:
- A expressão está escrita em potências de
. - Queremos contar os zeros que ficam em pontos finitos do plano
(raízes do numerador) e quantos zeros “ficam” no infinito (multiplicidade no infinito).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como quociente de polinômios em
(não em
), para ficar fácil contar graus.
Começo expandindo numerador e denominador em potências de
:
Multiplico numerador e denominador por
(isso não muda a função) para obter polinômios em
:
Passo 3
Agora identifique os zeros finitos: são as raízes do numerador polinomial em
.
O numerador é o polinômio
O numerador é o polinômio
cuja raiz é
Portanto há exatamente um zero finito (multiplicidade 1) em
.
Passo 4
Para contar zeros no infinito usamos a comparação de graus dos polinômios em
.
Sejam
o grau do numerador em
e
o grau do denominador em
. Aqui
- Quando
a função tende a zero quando , e existe um zero em com multiplicidade . - Quando
haveria um pólo em com multiplicidade .
No nosso caso, logo existe um zero no infinito de multiplicidade .
Uma forma alternativa e intuitiva de ver isso é observar o comportamento assintótico:
ou seja
com ordem
, confirmando um zero simples em
.
Passo 5
Resumo e verificação rápida:
- Um zero finito (em
), conta-se multiplicidade 1. - Um zero no infinito (multiplicidade
), porque o denominador tem um grau a mais que o numerador.
Resposta
Número de zeros no plano
finito:
(em
).
Número de zeros no infinito: .
Número de zeros no infinito: