Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada z de um sinal, determine o número de zeros no plano z finito e o número de zeros no infinito.
\frac{z^{-1}\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right)}{\left(1-\frac{1}{3} z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{4} z^{-1}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de zeros no plano z finito e o número de zeros no infinito da função
H(z)=\frac{z^{-1}\!\left(1-\tfrac{1}{2} z^{-1}\right)}{\left(1-\tfrac{1}{3} z^{-1}\right)\left(1-\tfrac{1}{4} z^{-1}\right)}.
Informações dadas:
  • A expressão está escrita em potências de z^{-1}.
  • Queremos contar os zeros que ficam em pontos finitos do plano z (raízes do numerador) e quantos zeros “ficam” no infinito (multiplicidade no infinito).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever H(z) como quociente de polinômios em z (não em z^{-1}), para ficar fácil contar graus.
Começo expandindo numerador e denominador em potências de z^{-1}:
\text{numerador} = z^{-1}-\tfrac{1}{2}z^{-2}, \qquad \text{denominador} = 1-\tfrac{7}{12}z^{-1}+\tfrac{1}{12}z^{-2}.
Multiplico numerador e denominador por z^{2} (isso não muda a função) para obter polinômios em z:
H(z)=\frac{(z^{-1}-\tfrac{1}{2}z^{-2})\,z^{2}}{(1-\tfrac{7}{12}z^{-1}+\tfrac{1}{12}z^{-2})\,z^{2}} =\frac{z-\tfrac{1}{2}}{z^{2}-\tfrac{7}{12}z+\tfrac{1}{12}}.

Passo 3

Agora identifique os zeros finitos: são as raízes do numerador polinomial em z.
O numerador é o polinômio
z-\tfrac{1}{2},
cuja raiz é
z=\tfrac{1}{2}.
Portanto há exatamente um zero finito (multiplicidade 1) em z=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Para contar zeros no infinito usamos a comparação de graus dos polinômios em z.
Sejam N o grau do numerador em z e D o grau do denominador em z. Aqui
N=1,\qquad D=2.
  • Quando D>N a função tende a zero quando z\to\infty, e existe um zero em z=\infty com multiplicidade D-N.
  • Quando N>D haveria um pólo em z=\infty com multiplicidade N-D.
    No nosso caso D-N=2-1=1, logo existe um zero no infinito de multiplicidade 1.
Uma forma alternativa e intuitiva de ver isso é observar o comportamento assintótico:
H(z)\sim \frac{z^{1}}{z^{2}}=z^{-1}\quad\text{quando }z\to\infty,
ou seja H(z)\to 0 com ordem 1, confirmando um zero simples em \infty.

Passo 5

Resumo e verificação rápida:
  • Um zero finito (em z=\tfrac{1}{2}), conta-se multiplicidade 1.
  • Um zero no infinito (multiplicidade 1), porque o denominador tem um grau a mais que o numerador.

Resposta

Número de zeros no plano z finito: 1 (em z=\tfrac{1}{2}).
Número de zeros no infinito: 1.

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