Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada
de um sinal, determine o número de zeros no plano
finito e o número de zeros no infinito.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformada
e pede:
- determinar o número de zeros no plano
finito; - determinar o número de zeros no infinito.
Informações relevantes dadas: a expressão é uma função racional em
com fatores no numerador e denominador como mostrados acima. Não há figura nem outro dado.
Passo 2
Conceitos úteis (explicados de forma simples):
- Zeros finitos de
são os valores de finitos que anulam o numerador depois de eliminar quaisquer fatores comuns com o denominador. Se escrevermos com e polinômios em sem fator comum, o número (contando multiplicidade) de zeros finitos é . - Zeros no infinito correspondem à ordem em que
tende a zero quando . Se , então se anula no infinito com multiplicidade . Em fórmulas:
- Atenção às possíveis simplificações: se
e têm fatores comuns, esses cancelam e reduzem as respectivas graus antes de contar zeros e polos.
Passo 3
Vamos transformar
numa razão de polinômios em
(ou seja, eliminar as potências negativas). Primeiro escrevo o numerador e denominador com potências explícitas:
Multiplico numerador e denominador por
(escolhi
para eliminar as potências negativas restantes):
Passo 4
Fatoro o denominador para ver polos e possíveis cancelamentos:
Logo
Passo 5
Verifico cancelamentos: o numerador é
(zero simples em
). O denominador tem fatores
,
e
. Nenhum deles é igual a
, então não há fator comum para cancelar. Portanto, os polinômios já estão na forma sem fatores comuns.
Agora posso contar graus:
-
(numerador ). -
(denominador ).
Passo 6
Contagem final:
- Zeros finitos: são as raízes do numerador não canceladas. Aqui há uma raiz simples
. Portanto o número de zeros no plano finito é . - Zeros no infinito: pela fórmula
(quando positivo), temos . Intuitivamente, para a função se comporta como , ou seja, tende a zero como — isso corresponde a multiplicidade 2 de zero no infinito.
Resposta
Número de zeros no plano
finito:
(em
).
Número de zeros no infinito: .
Número de zeros no infinito: