Para cada uma das seguintes expressões algébricas para a transformada z de um sinal, determine o número de zeros no plano z finito e o número de zeros no infinito.
\frac{z^{-2}\left(1-z^{-1}\right)}{\left(1-\frac{1}{4} z^{-1}\right)\left(1+\frac{1}{4} z^{-1}\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada
H(z)=\frac{z^{-2}\left(1-z^{-1}\right)}{\left(1-\frac{1}{4} z^{-1}\right)\left(1+\frac{1}{4} z^{-1}\right)}
e pede:
  • determinar o número de zeros no plano z finito;
  • determinar o número de zeros no infinito.
Informações relevantes dadas: a expressão é uma função racional em z^{-1} com fatores no numerador e denominador como mostrados acima. Não há figura nem outro dado.

Passo 2

Conceitos úteis (explicados de forma simples):
  • Zeros finitos de H(z) são os valores de z finitos que anulam o numerador depois de eliminar quaisquer fatores comuns com o denominador. Se escrevermos H(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} com P e Q polinômios em z sem fator comum, o número (contando multiplicidade) de zeros finitos é \deg P.
  • Zeros no infinito correspondem à ordem em que H(z) tende a zero quando |z|\to\infty. Se \deg Q>\deg P, então H(z) se anula no infinito com multiplicidade \deg Q-\deg P. Em fórmulas:
\text{zeros no infinito}=\max\{0,\deg Q-\deg P\}.
  • Atenção às possíveis simplificações: se P e Q têm fatores comuns, esses cancelam e reduzem as respectivas graus antes de contar zeros e polos.

Passo 3

Vamos transformar H(z) numa razão de polinômios em z (ou seja, eliminar as potências negativas). Primeiro escrevo o numerador e denominador com potências explícitas:
H(z)=\frac{z^{-2}-z^{-3}}{1-\frac{1}{16}z^{-2}}.
Multiplico numerador e denominador por z^{3} (escolhi z^3 para eliminar as potências negativas restantes):
H(z)=\frac{z^{3}\left(z^{-2}-z^{-3}\right)}{z^{3}\left(1-\frac{1}{16}z^{-2}\right)} =\frac{z-1}{z^{3}-\frac{1}{16}z}.

Passo 4

Fatoro o denominador para ver polos e possíveis cancelamentos:
z^{3}-\frac{1}{16}z = z\left(z^{2}-\frac{1}{16}\right)=z\left(z-\frac{1}{4}\right)\left(z+\frac{1}{4}\right).
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H(z)=\frac{z-1}{z\left(z-\frac{1}{4}\right)\left(z+\frac{1}{4}\right)}.

Passo 5

Verifico cancelamentos: o numerador é z-1 (zero simples em z=1). O denominador tem fatores z, z-\tfrac{1}{4} e z+\tfrac{1}{4}. Nenhum deles é igual a z-1, então não há fator comum para cancelar. Portanto, os polinômios já estão na forma sem fatores comuns.
Agora posso contar graus:
  • \deg P=1 (numerador z-1).
  • \deg Q=3 (denominador z(z-\tfrac{1}{4})(z+\tfrac{1}{4})).

Passo 6

Contagem final:
  • Zeros finitos: são as raízes do numerador não canceladas. Aqui há uma raiz simples z=1. Portanto o número de zeros no plano z finito é \deg P=1.
  • Zeros no infinito: pela fórmula \deg Q-\deg P (quando positivo), temos 3-1=2. Intuitivamente, para |z|\to\infty a função se comporta como \dfrac{z}{z^{3}}=\dfrac{1}{z^{2}}, ou seja, tende a zero como 1/z^{2} — isso corresponde a multiplicidade 2 de zero no infinito.

Resposta

Número de zeros no plano z finito: 1 (em z=1).
Número de zeros no infinito: 2.

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