Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
m. f(x) = cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a definição de série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de é uma soma infinita de termos que representa a função como polinômio. A fórmula geral é:
Onde é a n-ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Como nosso ponto de expansão é , a fórmula simplifica para:
Então, precisamos calcular as derivadas de avaliadas em 0.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
  • E assim por diante…
Percebemos que as derivadas de se repetem a cada duas derivações.

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
  • E assim por diante…
Observamos que as derivadas ímpares são zero e as derivadas pares são iguais a 1.

Passo 6

Com isso, podemos escrever a série de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
Aplique o critério da razão:
Como o limite é 0 para todo , a série converge para qualquer valor de .

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, a série converge para todo real.

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