Para cada uma das seguintes parametrizações, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização de uma curva plana
, para todo
. O conteúdo aqui é eliminação de parâmetro para obter a equação cartesiana e esboçar o formato da curva (uma semicúbica parábola).
Passo 2
Começamos eliminando
. Como
, temos
e, ao elevar ao cubo,
. Por outro lado,
implica
. Assim chegamos à relação
Passo 3
Observação sobre domínio: de
vem
. Para
,
(ramo em primeiro quadrante), e para
,
(ramo no quarto quadrante). Em
há um cúspide em
.
Passo 4
Para entender a orientação, podemos calcular
. Logo o ramo em primeiro quadrante cresce para a direita quando
aumenta, e no quarto quadrante decresce para a direita quando
aumenta até zero.
Passo 5
Esboço da curva: traçamos o eixo
horizontal e
vertical, marcamos o ponto de cúspide em
. Para
a curva sobe suavemente no primeiro quadrante, para
desce no quarto quadrante. Colocamos setas indicando o crescimento de
.
Resposta
A curva tem equação cartesiana
com
, formando uma semicúbica parábola com cúspide em
.