Para cada uma das seguintes parametrizações, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
r(t)=(t^2, t^3), t in R

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de uma curva plana vec r(t)=(t^2,t^3), para todo tin R. O conteúdo aqui é eliminação de parâmetro para obter a equação cartesiana e esboçar o formato da curva (uma semicúbica parábola).

Passo 2

Começamos eliminando t. Como x=t^2, temos t^2=x e, ao elevar ao cubo, t^6=x^3. Por outro lado, y=t^3 implica y^2=t^6. Assim chegamos à relação
y^2 = x^3,

Passo 3

Observação sobre domínio: de x=t^2 vem x>=0. Para t>0, y>0 (ramo em primeiro quadrante), e para t<0, y<0 (ramo no quarto quadrante). Em x=0 há um cúspide em (0,0).

Passo 4

Para entender a orientação, podemos calcular dfracdydx=dfracdy/dtdx/dt=dfrac3t^22t=tfrac32t. Logo o ramo em primeiro quadrante cresce para a direita quando t aumenta, e no quarto quadrante decresce para a direita quando t aumenta até zero.

Passo 5

Esboço da curva: traçamos o eixo x horizontal e y vertical, marcamos o ponto de cúspide em (0,0). Para t>0 a curva sobe suavemente no primeiro quadrante, para t<0 desce no quarto quadrante. Colocamos setas indicando o crescimento de t.

Resposta

A curva tem equação cartesiana y^2=x^3 com x>=0, formando uma semicúbica parábola com cúspide em (0,0).

Exercícios relacionados