Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo “Absolutamente Convergente”, “Condicionalmente Convergente” ou “Divergente”, justificando o teste usado.
Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral da série é
. - Para todo
, (numerador e denominador são positivos para ). - Precisamos verificar o comportamento de
quando e decidir a convergência da soma.
Passo 2
Vou apresentar o teste principal que resolve rapidamente este tipo de série: o “teste do termo geral” (também chamado de teste da divergência).
Enunciado do teste do termo geral:
Intuição simples: para somar infinitos termos e obter um número finito, os termos precisam tender a zero; se não tendem a zero, somar cada um deles não pode estabilizar num valor finito.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
quando
.
Divido numerador e denominador por
:
Agora tomo o limite quando
:
Passo 4
Interpretando o resultado:
Pelo teste do termo geral, a série
diverge, porque seus termos não tendem a zero. Uma explicação intuitiva: os termos ficam próximos de
para
grande, então as somas parciais crescem aproximadamente como uma soma de muitos termos constantes e vão para infinito.
Passo 5
Sobre convergência absoluta / condicional: como
para todo
, a série dos valores absolutos
é a própria série. Logo, se a série original diverge, ela não pode ser absolutamente convergente nem condicionalmente convergente. A classificação correta é simplesmente “Divergente”.
Resposta
Divergente