Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 n+1}{3 n-2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+1}{3n-2}
como sendo “Absolutamente Convergente”, “Condicionalmente Convergente” ou “Divergente”, justificando o teste usado.
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{4n+1}{3n-2}.
  • Para todo n\ge 1, a_n>0 (numerador e denominador são positivos para n\ge1).
  • Precisamos verificar o comportamento de a_n quando n\to\infty e decidir a convergência da soma.

Passo 2

Vou apresentar o teste principal que resolve rapidamente este tipo de série: o “teste do termo geral” (também chamado de teste da divergência).
Enunciado do teste do termo geral:
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,\text{ então a série } \sum a_n \text{ diverge.}ãé
Intuição simples: para somar infinitos termos e obter um número finito, os termos precisam tender a zero; se não tendem a zero, somar cada um deles não pode estabilizar num valor finito.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral \,a_n=\dfrac{4n+1}{3n-2}\, quando n\to\infty.
Divido numerador e denominador por n:
a_n=\frac{4n+1}{3n-2}=\frac{4+\dfrac{1}{n}}{3-\dfrac{2}{n}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{4+0}{3-0}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Interpretando o resultado:
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{4}{3}\neq 0.
Pelo teste do termo geral, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge, porque seus termos não tendem a zero. Uma explicação intuitiva: os termos ficam próximos de \tfrac{4}{3} para n grande, então as somas parciais crescem aproximadamente como uma soma de muitos termos constantes e vão para infinito.

Passo 5

Sobre convergência absoluta / condicional: como a_n>0 para todo n, a série dos valores absolutos \sum |a_n|=\sum a_n é a própria série. Logo, se a série original diverge, ela não pode ser absolutamente convergente nem condicionalmente convergente. A classificação correta é simplesmente “Divergente”.

Resposta

Divergente