Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:

4.1 - Ordem do Sistema:

Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.

4.2 - Zeros do Sistema:

Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

4.3 - Parâmetros Chave:

  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
    4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
W_{1}(s)=\frac{2}{s+2}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de função de transferência
W_{1}(s)=\frac{2}{s+2}.
As tarefas pedem uma análise completa: identificar a ordem do sistema (4.1), encontrar zeros (4.2), obter parâmetros chave (4.3) — usando as fórmulas e convenções usuais de sistemas de primeira e segunda ordem — traçar polos/zeros no plano s (4.4) e classificar o amortecimento (4.5). Vou pegar diretamente a expressão dada e extrair todas as informações pedidas passo a passo.

Passo 2

Identificar a ordem do sistema.
Uma função de transferência racional tem ordem igual ao maior grau do denominador após simplificação. Aqui o denominador é s+2, que é de grau 1. Logo:
\text{Ordem} = 1.
Explicação didática: dizer que é de primeira ordem significa que a dinâmica temporal é governada por um único modo exponencial do tipo \mathrm{e}^{-t/T}. Isso já diz muito sobre a resposta (ela será monótona, sem oscilações).

Passo 3

Determinar os polos e zeros (informação necessária para 4.2 e 4.4).
  • Polos são raízes do denominador. Resolver s+2=0
s=-2.
  • Zeros são raízes do numerador. O numerador é constante 2, que não se anula para nenhum s finito. Portanto não há zeros finitos. Em linguagem comum: não existem zeros finitos (pode-se dizer que há um “zero no infinito”).
Didática curta sobre polos/zeros: polos em \operatorname{Re}(s)<0 indicam modos estáveis (decrescentes); polos no semiplano direito indicam instabilidade; zeros influenciam formato da resposta, podendo introduzir inversões de fase ou atenuação de certas frequências.

Passo 4

Reescrever na forma padrão de primeira ordem e extrair ganho estático K e constante de tempo T.
A forma padrão de um sistema de primeira ordem é
G(s)=\frac{K}{T s + 1},
onde K é o ganho em regime permanente (resposta a degrau unitário) e T é a constante de tempo (tempo característico do decaimento exponencial). Vamos colocar W_{1}(s) nessa forma:
W_{1}(s)=\frac{2}{s+2}=\frac{2}{2\left(\tfrac{s}{2}+1\right)}=\frac{1}{\tfrac{s}{2}+1}.
Comparando com \dfrac{K}{T s + 1} concluímos
K=1,\qquad T=\tfrac{1}{2}=0,5\\ \text{s}.
Explicação didática: a técnica é fatorar o denominador para identificar T como o recíproco do coeficiente de s quando a forma está normalizada com +1 constante no denominador. O ganho em regime permanente para entrada degrau unitário é K (ou avaliando W(0): W_{1}(0)=2/2=1).

Passo 5

Resposta ao degrau e sobressinal (overshoot).
A resposta ao degrau unitário de um sistema de primeira ordem com K e T é
y(t)=K\bigl(1-\mathrm{e}^{-t/T}\bigr),\qquad t\ge 0.
Substituindo K=1 e T=0,5\\ \text{s},
y(t)=1-\mathrm{e}^{-2t}.
Observações importantes:
  • A resposta é estritamente monotônica crescente para t\ge 0.
  • Não há oscilações nem pico local acima do valor final. Portanto o sobressinal percentual é zero:
\%\mathrm{UP}=0\%.
Didática: sobressinal percentual (% \mathrm{UP}) é a quantidade que a resposta ultrapassa o valor final em relação ao valor final. Como aqui não há ultrapassagem, é 0\%.

Passo 6

Tempo de pico t_{\mathrm{p}}.
Definição: t_{\mathrm{p}} é o tempo em que ocorre o primeiro máximo (pico) da resposta transitória. Em sistemas não oscilatórios (como este de primeira ordem) não existe pico (a função cresce monotonicamente até o valor final). Assim:
t_{\mathrm{p}} \text{ não se aplica (não existe pico)}.ãã

Passo 7

Tempo de subida t_{\mathrm{r}} (definição e cálculo).
Existem várias convenções para t_{\mathrm{r}}. As duas mais comuns:
  • Tempo para ir de 0\% para 100\% (nem sempre prático para primeira ordem porque leva tempo infinito teoricamente).
  • Tempo para ir de 10\% a 90\% do valor final (definição prática e muito usada).
Para a resposta y(t)=1-\mathrm{e}^{-t/T}, resolver y(t_1)=0{,}1 e y(t_2)=0{,}9.
Calcular t_1 e t_2:
0{,}1=1-\mathrm{e}^{-t_1/T}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{-t_1/T}=0{,}9 \quad\Rightarrow\quad t_1=-T\ln(0{,}9),
0{,}9=1-\mathrm{e}^{-t_2/T}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{-t_2/T}=0{,}1 \quad\Rightarrow\quad t_2=-T\ln(0{,}1).
Então o tempo de subida (10–90%) é
t_{\mathrm{r}}=t_2-t_1=-T\bigl(\ln(0{,}1)-\ln(0{,}9)\bigr)=T\ln\!\left(\frac{0{,}9}{0{,}1}\right)=T\ln(9).
Substituindo T=0{,}5\\ \text{s}:
t_{\mathrm{r}}=0{,}5\cdot\ln(9)\approx 0{,}5\cdot 2{,}1972\approx 1{,}0986\\ \text{s}\approx 1{,}10\\ \text{s}.
Observação alternativa: o tempo para atingir 63{,}2\% do valor final é justamente T (definição da constante de tempo), i.e., y(T)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632.

Passo 8

Tempo de assentamento t_{\mathrm{s}} (critério 2% e 5%).
Definição: tempo necessário para que a resposta permanente permaneça dentro de uma banda em torno do valor final (por exemplo \pm 2\% ou \pm 5\%). Para primeira ordem a expressão exata é
\text{limite de banda }\delta\\ \Longrightarrow\\ t_{\mathrm{s}}=-T\ln(\delta).
  • Para critério de 2\% ( \delta=0{,}02):
t_{\mathrm{s}(2\%)}=-T\ln(0{,}02)=0{,}5\cdot(-\ln(0{,}02))\approx 0{,}5\cdot 3{,}9120\approx 1{,}956\\ \text{s}\approx 1{,}96\\ \text{s}.
  • Para critério de 5\% ( \delta=0{,}05):
t_{\mathrm{s}(5\%)}=-T\ln(0{,}05)=0{,}5\cdot(-\ln(0{,}05))\approx 0{,}5\cdot 2{,}9957\approx 1{,}498\\ \text{s}\approx 1{,}50\\ \text{s}.
Didática: muitas vezes usa-se a aproximação prática t_{\mathrm{s}(2\%)}\approx 4T (aqui 4T=2{,}0\\ \text{s}), que casa bem com o cálculo exato 1{,}96\\ \text{s}.

Passo 9

Resumo das principais grandezas numéricas (para consulta rápida):
\begin{aligned} \text{Ordem} &= 1,\\[4pt] \text{Polos} &= \{ -2 \},\\[4pt] \text{Zeros finitos} &= \varnothing\\ (\text{nenhum}),\\[4pt] K &= 1,\\[4pt] T &= 0{,}5\\ \text{s},\\[4pt] y(t)&=1-\mathrm{e}^{-2t},\\[4pt] \%\mathrm{UP} &= 0\%,\\[4pt] t_{\mathrm{p}}&=\text{não se aplica (sem pico)},\\[4pt] t_{\mathrm{r}\\ (10\%-90\%)} &\approx 1{,}10\\ \text{s},\\[4pt] t_{\mathrm{s}\\ (2\%)} &\approx 1{,}96\\ \text{s},\qquad t_{\mathrm{s}\\ (5\%)} \approx 1{,}50\\ \text{s}. \end{aligned}ã]

Passo 10

Mapa de polos e zeros no plano s (descrição verbal e interpretação).
  • Polo: um único polo real em s=-2. No plano s isto é um ponto sobre o eixo real, à esquerda da origem, em -2.
  • Zeros: nenhum zero finito (não há pontos no semiplano que zere o numerador).
Como não posso desenhar aqui, a indicação é: marque um “X” ou ponto em s=-2 no eixo real esquerdo; não marque zeros (ou marque um círculo no infinito se quiser visualização conceitual). Interpretação: polo em -2 implica modo com taxa de decaimento 2 (exponencial \mathrm{e}^{-2t}), comportamento estável e não oscilatório.

Passo 11

Classificação do amortecimento.
As categorias típicas (subamortecido, criticamente amortecido, sobreamortecido, sem amortecimento) são definidas estritamente para sistemas de segunda ordem com polos complexos conjugados ou raízes reais repetidas. Para um sistema de primeira ordem:
  • Não há oscillação => não é subamortecido nem com amortecimento crítico no sentido de segunda ordem.
  • Em termos práticos: a resposta é monótona decrescente ou crescente até o valor final; isto é equivalente a um comportamento não oscilatório, similar ao que se chama de “sobreamortecido” (no sentido qualitativo).
    Portanto a conclusão precisa: a classificação clássica de amortecimento de segunda ordem não se aplica; o sistema é de primeira ordem e não apresenta oscilação (comportamento monótono / não oscilatório).

Resposta

4.1 - Ordem do sistema: primeira ordem.
4.2 - Zeros do sistema: não possui zeros finitos (nenhum zero).
4.3 - Parâmetros chave:
K = 1.
Constante de tempo T = 0{,}5\\ \text{s}.
Resposta ao degrau: y(t)=1-\mathrm{e}^{-2t}.
Tempo de pico t_{\mathrm{p}}: não se aplica (sem pico).
Tempo de subida t_{\mathrm{r}\\ (10\%-90\%)} \approx 1{,}10\\ \text{s}.
Tempo de assentamento t_{\mathrm{s}(2\%)} \approx 1{,}96\\ \text{s} (ou t_{\mathrm{s}(5\%)} \approx 1{,}50\\ \text{s}).
Sobressinal percentual \%\mathrm{UP}=0\%.
4.4 - Mapa de polos e zeros: polo em s=-2 (eixo real esquerdo). Nenhum zero finito.
4.5 - Classificação do amortecimento: não se aplica a categorias de segunda ordem; o sistema é de primeira ordem e não apresenta oscilações (comportamento monótono, equivalente a não oscilatório/sobreamortecido qualitativamente).

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