Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:
4.1 - Ordem do Sistema:
Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.
4.2 - Zeros do Sistema:
Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.
4.3 - Parâmetros Chave:
- Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
- Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida
, o tempo de pico (
), o tempo de subida (
), o tempo de assentamento (
) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
e pede uma análise da resposta no tempo, seguindo os itens:
- 4.1 Ordem do sistema;
- 4.2 Zeros do sistema;
- 4.3 Parâmetros-chave (para 1ª ordem:
e ; para 2ª ordem: , , , , , % ); - 4.4 Mapa de polos e zeros no plano
; - 4.5 Classificação do amortecimento.
Informações dadas explicitamente: a expressão algébrica de
. Nada mais é fornecido (por exemplo, malha fechada); vou analisar a resposta ao degrau unitário (entrada degrau de amplitude 1) para extrair tempos de resposta no tempo, usando operações de transformada inversa e propriedades padrão de sistemas lineares invariantes no tempo.
Passo 2
Ordem do sistema.
Regra prática: a ordem é o maior grau do polinômio denominador da função de transferência (quando cancelamentos não ocorrem). Aqui o denominador é , de grau
. Logo:
Regra prática: a ordem é o maior grau do polinômio denominador da função de transferência (quando cancelamentos não ocorrem). Aqui o denominador é
Passo 3
Zeros do sistema.
Zeros são raízes do numerador. O numerador é , logo a raiz é
. Explicitamente:
Zeros são raízes do numerador. O numerador é
Comentário didático curto: um zero real negativo influencia a resposta transitória introduzindo um termo que pode acelerar a resposta (ação de lead) ou produzir efeito de “balanço” entre os modos.
Passo 4
Polos do sistema.
Polos são raízes do denominador . Assim:
Polos são raízes do denominador
Ambos são reais e estritamente à esquerda do eixo imaginário (estáveis). Isso já sugere resposta não oscilatória (sem conjugados complexos).
Passo 5
Ganho estático
(ganho DC) e interpretação.
O ganho estático é , ou seja o valor da TF para
:
O ganho estático é
Interpretação: para um degrau unitário
, o valor final
do sistema será
(teorema do valor final aplicado a sistema estável).
Passo 6
Comparação com a forma padrão de segunda ordem e cálculo de
e
.
A forma padrão do denominador de um sistema segundo ordem é
A forma padrão do denominador de um sistema segundo ordem é
Expandindo o denominador dado:
Comparando termos:
Explicação didática:
é a frequência natural não amortecida (rad/s) associada ao par de polos;
é o fator de amortecimento — ele determina se o sistema oscila (
) ou não (
).
Passo 7
Classificação do amortecimento (introdução didática).
- Se
: subamortecido (oscilações amortecidas). - Se
: criticamente amortecido. - Se
: sobreamortecido (dois modos reais, sem oscilação).
Como
, concluímos que:
Consequência prática: não haverá pico de overshoot nem tempo de pico típico de sistemas subamortecidos; a resposta é monótona (aumenta ou diminui sem oscilar) até o valor final.
Passo 8
Resposta ao degrau por frações parciais (obter
).
Vamos obter a resposta no tempo para entrada degrau unitário. Tomamos
Vamos obter a resposta no tempo para entrada degrau unitário. Tomamos
Fazendo decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
e avaliando em três valores fáceis:
-
: -
: -
:
Logo, invertendo a transformada de Laplace:
Verificações rápidas (boas práticas):
(começa em zero), e
(valor final correto). A forma é soma de exponentiais reais, confirmando sobreamortecimento.
Passo 9
Cálculo do tempo de subida
(definição 10%–90%) — método explícito.
Definição: , onde
é o tempo em que
do valor final
. O valor final é
. Para trabalhar com números menores, normalizo:
Definição:
Colocando
(então
), a condição
leva à equação quadrática
Para
(10%):
. Resolvendo a quadrática (discriminante
):
Para
(90%):
. Resolvendo (discriminante
):
Portanto o tempo de subida é
Breve comentário: mesmo com pólos em
e
, a interação dos termos exponenciais faz a resposta subir relativamente rápido para atingir
do valor final.
Passo 10
Tempo de assentamento
(critério de 2% e 5%) e comparações.
Definição prática: o tempo a partir do qual permanece dentro de
(ou
) do valor final.
Definição prática: o tempo a partir do qual
Como a resposta é monótona e sobe até o valor final por baixo, basta resolver
com
(2%) ou
(5%). Usando a mesma técnica (normalização e
) obtemos as quadráticas:
- Para 2% (
): . Solução positiva =>
- Para 5% (
): . Solução positiva =>
Observação didática: existe a regra heurística
(onde
é parte real do pólo dominante) usada para estimativas rápidas; aplicando com pólo dominante
dá
s, que é bem conservador aqui. A razão é que o critério simples assume resposta típica de primeiro-ordem ou modos subamortecidos; quando há combinação de termos (como um expoente rápido de coeficiente grande), o tempo real pode ser menor.
Passo 11
Tempo de pico
e sobressinal percentual (%
).
- Tempo de pico
: no contexto clássico, só se aplica quando (modo oscilatório). Aqui , não há pico oscilatório. Portanto não se aplica. - Sobressinal percentual: como a resposta é monótona e tende ao valor final por baixo, o overshoot é zero. Assim:
Passo 12
Mapa de polos e zeros (descrição no plano
).
Os pontos estão todos no eixo real negativo:
Os pontos estão todos no eixo real negativo:
- Zero:
(ponto real à esquerda da origem, mais próximo do eixo imaginário que os polos). - Polos:
e (dois polos reais, localizados em e ).
Ordenando em direção ao eixo imaginário: origem (0), depois zero em
, depois polo em
, depois polo em
. Todos estão no semiplano esquerdo, indicando estabilidade.
Passo 13
Resumo interpretativo e implicações práticas (motivação breve).
- Sistema é estável e sobreamortecido: resposta sem oscilações e sem overshoot.
- Ganho DC baixo (
), então uma entrada degrau unitário produz saída final . - Tempos de resposta são relativamente rápidos (ex.:
ms, ms) porque as constantes exponenciais combinadas produzem convergência rápida ao valor final apesar da estimativa grosseira ser maior. - A presença do zero em
desloca a forma transitória (introduz um termo que modifica amplitudes relativas dos modos), por isso a dinâmica numérica específica (coeficientes e ) é importante para tempos exatos.
Resposta
4.1 Ordem: segunda ordem.
4.2 Zeros:
.
4.3 Parâmetros-chave:
.
.
.
não se aplica (não há pico,
).
(10%–90%):
.
(para 5%:
).
.
4.4 Mapa de polos e zeros (no plano
): zero em
; polos em
e
(todos no eixo real negativo).
4.5 Classificação do amortecimento: sobreamortecido (overdamped).