Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:

4.1 - Ordem do Sistema:

Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.

4.2 - Zeros do Sistema:

Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

4.3 - Parâmetros Chave:

  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
    4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
W_{3}(s)=\frac{10(s+7)}{(s+10)(s+20)}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
W_{3}(s)=\frac{10(s+7)}{(s+10)(s+20)}
e pede uma análise da resposta no tempo, seguindo os itens:
  • 4.1 Ordem do sistema;
  • 4.2 Zeros do sistema;
  • 4.3 Parâmetros-chave (para 1ª ordem: T e K; para 2ª ordem: \zeta, \omega_n, t_p, t_r, t_s, % \mathrm{UP});
  • 4.4 Mapa de polos e zeros no plano s;
  • 4.5 Classificação do amortecimento.
Informações dadas explicitamente: a expressão algébrica de W_{3}(s). Nada mais é fornecido (por exemplo, malha fechada); vou analisar a resposta ao degrau unitário (entrada degrau de amplitude 1) para extrair tempos de resposta no tempo, usando operações de transformada inversa e propriedades padrão de sistemas lineares invariantes no tempo.

Passo 2

Ordem do sistema.
Regra prática: a ordem é o maior grau do polinômio denominador da função de transferência (quando cancelamentos não ocorrem). Aqui o denominador é (s+10)(s+20)=s^{2}+30s+200, de grau 2. Logo:
\text{Ordem: } \text{segunda ordem.}

Passo 3

Zeros do sistema.
Zeros são raízes do numerador. O numerador é 10(s+7), logo a raiz é s=-7. Explicitamente:
\text{Zero em } s=-7.
Comentário didático curto: um zero real negativo influencia a resposta transitória introduzindo um termo que pode acelerar a resposta (ação de lead) ou produzir efeito de “balanço” entre os modos.

Passo 4

Polos do sistema.
Polos são raízes do denominador (s+10)(s+20). Assim:
\text{Polos em } s=-10 \quad\text{e}\quad s=-20.
Ambos são reais e estritamente à esquerda do eixo imaginário (estáveis). Isso já sugere resposta não oscilatória (sem conjugados complexos).

Passo 5

Ganho estático K (ganho DC) e interpretação.
O ganho estático é W_{3}(0), ou seja o valor da TF para s=0:
K = W_{3}(0) = \frac{10(0+7)}{(0+10)(0+20)} = \frac{70}{200} = 0{,}35.
Interpretação: para um degrau unitário u(t)=1\cdot\mathbf{1}(t), o valor final y(\infty) do sistema será 0{,}35 (teorema do valor final aplicado a sistema estável).

Passo 6

Comparação com a forma padrão de segunda ordem e cálculo de \omega_n e \zeta.
A forma padrão do denominador de um sistema segundo ordem é
s^{2}+2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}.
Expandindo o denominador dado:
(s+10)(s+20)=s^{2}+30s+200.
Comparando termos:
\omega_n^{2}=200 \quad\Rightarrow\quad \omega_n=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}1421,
2\zeta\omega_n =30 \quad\Rightarrow\quad \zeta = \frac{30}{2\omega_n}=\frac{15}{\omega_n}=\frac{15}{10\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\approx1{,}06066.
Explicação didática: \omega_n é a frequência natural não amortecida (rad/s) associada ao par de polos; \zeta é o fator de amortecimento — ele determina se o sistema oscila ( \zeta<1) ou não ( \zeta\ge1).

Passo 7

Classificação do amortecimento (introdução didática).
  • Se \zeta<1: subamortecido (oscilações amortecidas).
  • Se \zeta=1: criticamente amortecido.
  • Se \zeta>1: sobreamortecido (dois modos reais, sem oscilação).
Como \zeta\approx1{,}0607>1, concluímos que:
\text{o sistema é sobreamortecido (overdamped).}é
Consequência prática: não haverá pico de overshoot nem tempo de pico típico de sistemas subamortecidos; a resposta é monótona (aumenta ou diminui sem oscilar) até o valor final.

Passo 8

Resposta ao degrau por frações parciais (obter y(t)).
Vamos obter a resposta no tempo para entrada degrau unitário. Tomamos
Y(s)=\frac{W_{3}(s)}{s}=\frac{10(s+7)}{s(s+10)(s+20)}.
Fazendo decomposição em frações parciais:
\frac{10(s+7)}{s(s+10)(s+20)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{s+20}.
Multiplicando por s(s+10)(s+20) e avaliando em três valores fáceis:
  • s=0: 10\cdot7 = A\cdot10\cdot20 \Rightarrow A=\dfrac{70}{200}=0{,}35.
  • s=-10: 10(-3) = B\cdot(-10)\cdot10 \Rightarrow B=\dfrac{-30}{-100}=0{,}3.
  • s=-20: 10(-13) = C\cdot(-20)\cdot(-10) \Rightarrow C=\dfrac{-130}{200}=-0{,}65.
Logo, invertendo a transformada de Laplace:
y(t)=A + B e^{-10t} + C e^{-20t} = 0{,}35 + 0{,}3 e^{-10 t} -0{,}65 e^{-20 t},\quad t\ge0.
Verificações rápidas (boas práticas): y(0)=0{,}35+0{,}3-0{,}65=0 (começa em zero), e y(\infty)=0{,}35 (valor final correto). A forma é soma de exponentiais reais, confirmando sobreamortecimento.

Passo 9

Cálculo do tempo de subida t_r (definição 10%–90%) — método explícito.
Definição: t_r = t_{90\%}-t_{10\%}, onde t_{p\%} é o tempo em que y(t)=p\% do valor final y(\infty). O valor final é y(\infty)=0{,}35. Para trabalhar com números menores, normalizo:
r(t)=\frac{y(t)}{y(\infty)}=1 + \frac{0{,}3}{0{,}35}e^{-10t} - \frac{0{,}65}{0{,}35}e^{-20t} =1 + \frac{6}{7}e^{-10t} - \frac{13}{7}e^{-20t}.
Colocando x=e^{-10t} (então e^{-20t}=x^{2}), a condição r(t)=p leva à equação quadrática
13 x^{2} - 6 x - 7(1-p)=0.
Para p=0{,}1 (10%): 13x^{2}-6x-6{,}3=0. Resolvendo a quadrática (discriminante D\approx363{,}6):
x_{10\%}\approx0{,}9635 \quad\Rightarrow\quad t_{10\%}=-\frac{1}{10}\ln(x_{10\%})\approx0{,}00371\\ \text{s}.
Para p=0{,}9 (90%): 13x^{2}-6x-0{,}7=0. Resolvendo (discriminante D\approx72{,}4):
x_{90\%}\approx0{,}55897 \quad\Rightarrow\quad t_{90\%}\approx -\frac{1}{10}\ln(0{,}55897)\approx0{,}05815\\ \text{s}.
Portanto o tempo de subida é
t_{r}=t_{90\%}-t_{10\%}\approx 0{,}05815 - 0{,}00371 = 0{,}05444\\ \text{s}\\ (\approx 54{,}4\\ \text{ms}).
Breve comentário: mesmo com pólos em -10 e -20, a interação dos termos exponenciais faz a resposta subir relativamente rápido para atingir 90\% do valor final.

Passo 10

Tempo de assentamento t_s (critério de 2% e 5%) e comparações.
Definição prática: o tempo a partir do qual |y(t)-y(\infty)| permanece dentro de \pm 2\% (ou \pm 5\%) do valor final.
Como a resposta é monótona e sobe até o valor final por baixo, basta resolver y(t)=y(\infty)(1-\delta) com \delta=0{,}02 (2%) ou \delta=0{,}05 (5%). Usando a mesma técnica (normalização e x=e^{-10t}) obtemos as quadráticas:
  • Para 2% ( p=0{,}98): 13x^{2}-6x-0{,}14=0. Solução positiva x\approx0{,}48373 =>
t_s(2\%)\approx -\frac{1}{10}\ln(0{,}48373)\approx0{,}07257\\ \text{s}.
  • Para 5% ( p=0{,}95): 13x^{2}-6x-0{,}35=0. Solução positiva x\approx0{,}5139 =>
t_s(5\%)\approx -\frac{1}{10}\ln(0{,}5139)\approx0{,}06662\\ \text{s}.
Observação didática: existe a regra heurística t_s\approx 4/|\sigma_d| (onde \sigma_d é parte real do pólo dominante) usada para estimativas rápidas; aplicando com pólo dominante -10 t_s\approx0{,}4 s, que é bem conservador aqui. A razão é que o critério simples assume resposta típica de primeiro-ordem ou modos subamortecidos; quando há combinação de termos (como um expoente rápido de coeficiente grande), o tempo real pode ser menor.

Passo 11

Tempo de pico t_p e sobressinal percentual (% \mathrm{UP}).
  • Tempo de pico t_p: no contexto clássico, t_p = \pi/(\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}) só se aplica quando \zeta<1 (modo oscilatório). Aqui \zeta>1, não há pico oscilatório. Portanto t_p não se aplica.
  • Sobressinal percentual: como a resposta é monótona e tende ao valor final por baixo, o overshoot é zero. Assim:
\%\mathrm{UP}=0\%.

Passo 12

Mapa de polos e zeros (descrição no plano s).
Os pontos estão todos no eixo real negativo:
  • Zero: s=-7 (ponto real à esquerda da origem, mais próximo do eixo imaginário que os polos).
  • Polos: s=-10 e s=-20 (dois polos reais, localizados em -10 e -20).
Ordenando em direção ao eixo imaginário: origem (0), depois zero em -7, depois polo em -10, depois polo em -20. Todos estão no semiplano esquerdo, indicando estabilidade.

Passo 13

Resumo interpretativo e implicações práticas (motivação breve).
  • Sistema é estável e sobreamortecido: resposta sem oscilações e sem overshoot.
  • Ganho DC baixo ( 0{,}35), então uma entrada degrau unitário produz saída final 0{,}35.
  • Tempos de resposta são relativamente rápidos (ex.: t_r\approx54{,}4 ms, t_s(2\%)\approx72{,}6 ms) porque as constantes exponenciais combinadas produzem convergência rápida ao valor final apesar da estimativa grosseira 4/10 ser maior.
  • A presença do zero em -7 desloca a forma transitória (introduz um termo que modifica amplitudes relativas dos modos), por isso a dinâmica numérica específica (coeficientes 0{,}3 e -0{,}65) é importante para tempos exatos.

Resposta

4.1 Ordem: segunda ordem.
4.2 Zeros: s=-7.
4.3 Parâmetros-chave:
K=0{,}35.
\omega_n=10\sqrt{2}\approx14{,}1421\\ \mathrm{rad/s}.
\zeta\approx1{,}06066.
t_p: não se aplica (não há pico, \zeta>1).
t_r (10%–90%): \approx0{,}05444\\ \text{s}.
t_s(2\%)\approx0{,}07257\\ \text{s} (para 5%: \approx0{,}06662\\ \text{s}).
\%\mathrm{UP}=0\%.
4.4 Mapa de polos e zeros (no plano s): zero em s=-7; polos em s=-10 e s=-20 (todos no eixo real negativo).
4.5 Classificação do amortecimento: sobreamortecido (overdamped).

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