Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de peixe (em toneladas) que admitimos ser uma v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
(c) Calcule a P(X \leq 2).
(d) Encontre o intervalo que limita o 50 \% dos valores centrais das vendas.
(e) Calcule o valor esperado e a variância (E(X) e \operatorname{Var}(X)).
Passo 1
Resumo do enunciado: a variável aleatória X\) representa, em toneladas, a quantidade de peixe vendida por semana por uma cadeia de hipermercados e tem densidade
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{3},&0<x<3,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo aqui é a distribuição uniforme contínua em (0,3)\]. Vamos: (a) desenhar o pdf; (b) obter o cdf; \text{(c)} calcular \(P(X\le2); (d) achar o 50 % central; (e) calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).]
Passo 2
(a) A função densidade de probabilidade de uma uniforme em (0,3) vale \tfrac13 nesse intervalo e zero fora. Graficamente é um retângulo de altura \tfrac13 sobre o eixo x de 0 a 3.
(a) Gráfico: retângulo de altura \tfrac13 em 0<x<3.
(b) F(x)=0 para x\le0, F(x)=\tfrac{x}{3} para 0<x<3, F(x)=1 para x\ge3.
(c) P(X\le2)=\tfrac{2}{3}.
(d) Intervalo central de 50\%: (0{,}75,\;2{,}25).
(e) E(X)=1{,}5,\quad\operatorname{Var}(X)=0{,}75.