Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de peixe (em toneladas) que admitimos ser uma v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{3}, & 0<x<3 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
(c) Calcule a P(X \leq 2).
(d) Encontre o intervalo que limita o 50 \% dos valores centrais das vendas.
(e) Calcule o valor esperado e a variância (E(X) e \operatorname{Var}(X)).

Passo 1

Resumo do enunciado: a variável aleatória X\) representa, em toneladas, a quantidade de peixe vendida por semana por uma cadeia de hipermercados e tem densidade \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{3},&0<x<3,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo aqui é a distribuição uniforme contínua em (0,3)\]. Vamos: (a) desenhar o pdf; (b) obter o cdf; \text{(c)} calcular \(P(X\le2); (d) achar o 50 % central; (e) calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).]

Passo 2

(a) A função densidade de probabilidade de uma uniforme em (0,3) vale \tfrac13 nesse intervalo e zero fora. Graficamente é um retângulo de altura \tfrac13 sobre o eixo x de 0 a 3.

Passo 3

(b) A função de distribuição acumulada é
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt =\begin{cases} 0,&x\le0,\\\ \dfrac{x}{3},&0<x<3,\\\\ 1,&x\ge3. \end{cases}
Graficamente, F(x) é nula até x=0, cresce linearmente de 0 a 1 no trecho (0,3) com inclinação \tfrac13, e fica constante em 1 para x\ge3.

Passo 4

(c) Usando o cdf,
P(X\le2)=F(2)=\frac{2}{3}.

Passo 5

(d) O intervalo que concentra os 50\% centrais corresponde aos quartis Q_1 e Q_3, onde F(Q_p)=p. Para a uniforme em (0,3), Q_p=3p. Assim,
Q_{1}=3\cdot0{,}25=0{,}75,\quad Q_{3}=3\cdot0{,}75=2{,}25.
Logo o intervalo central de 50\% é (0{,}75,\;2{,}25).

Passo 6

(e) Para a uniforme em (a,b)=(0,3) sabemos que
E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+3}{2}=1{,}5,
\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}=\frac{3^{2}}{12}=\frac{9}{12}=0{,}75.

Resposta

(a) Gráfico: retângulo de altura \tfrac13 em 0<x<3.
(b) F(x)=0 para x\le0, F(x)=\tfrac{x}{3} para 0<x<3, F(x)=1 para x\ge3.
(c) P(X\le2)=\tfrac{2}{3}.
(d) Intervalo central de 50\%: (0{,}75,\;2{,}25).
(e) E(X)=1{,}5,\quad\operatorname{Var}(X)=0{,}75.

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