1. Calcular a área lateral de um pirâmide quadrangular regular, cuja base está inscrita numa circunferência de 6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} de raio e 8 cm de altura.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular. Dados fornecidos:
\text{raio da circunferência que circunscreve a base } R = 6\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}ê
\text{altura da pirâmide } h = 8\\ \mathrm{cm}â
A base é um quadrado inscrito nessa circunferência. O objetivo é encontrar a área lateral (soma das áreas das quatro faces triangulares laterais).

Passo 2

Encontrar o comprimento do lado da base do quadrado. Se um quadrado está inscrito numa circunferência, a diagonal do quadrado vale o diâmetro da circunferência. Logo:
\text{diagonal } d = 2R
Substituindo R:
d = 2\cdot\left(6\sqrt{2}\right)=12\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}

Passo 3

Relacionar a diagonal do quadrado com o lado s. Em um quadrado vale d = s\sqrt{2}. Assim,
s = \frac{d}{\sqrt{2}}
Substituindo d:
s = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12\\ \mathrm{cm}
Portanto o lado da base é s=12\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular o perímetro da base P, que é necessário para a área lateral:
P = 4s = 4\cdot 12 = 48\\ \mathrm{cm}

Passo 5

Determinar a apótema da base (distância do centro do quadrado ao ponto médio de um lado). Para o quadrado essa distância é metade do lado:
a = \frac{s}{2} = \frac{12}{2} = 6\\ \mathrm{cm}
Aqui estou usando o fato de que, por ser pirâmide regular, a projeção do vértice (ápice) sobre a base é o centro do quadrado, então a distância do centro ao ponto médio do lado entra na construção do triângulo retângulo que dá a geratriz (slant height).

Passo 6

Calcular a geratriz (altura inclinada da face triangular), que chamaremos de l. A geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide h e pela apótema a. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
l = \sqrt{h^2 + a^2}
Substituindo h=8 e a=6:
l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{cm}

Passo 7

Usar a fórmula da área lateral A_{\text{lat}} de uma pirâmide regular: a área lateral é a metade do produto do perímetro da base pela geratriz:
A_{\text{lat}} = \frac{P\cdot l}{2}
Substituindo P=48 e l=10:
A_{\text{lat}} = \frac{48\cdot 10}{2} = \frac{480}{2} = 240\\ \mathrm{cm}^2

Resposta

240\\ \mathrm{cm}^2

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