- Calcular a área lateral de um pirâmide quadrangular regular, cuja base está inscrita numa circunferência de
de raio e 8 cm de altura.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular. Dados fornecidos:
A base é um quadrado inscrito nessa circunferência. O objetivo é encontrar a área lateral (soma das áreas das quatro faces triangulares laterais).
Passo 2
Encontrar o comprimento do lado da base do quadrado. Se um quadrado está inscrito numa circunferência, a diagonal do quadrado vale o diâmetro da circunferência. Logo:
Substituindo
:
Passo 3
Relacionar a diagonal do quadrado com o lado
. Em um quadrado vale
. Assim,
Substituindo
:
Portanto o lado da base é
.
Passo 4
Calcular o perímetro da base
, que é necessário para a área lateral:
Passo 5
Determinar a apótema da base (distância do centro do quadrado ao ponto médio de um lado). Para o quadrado essa distância é metade do lado:
Aqui estou usando o fato de que, por ser pirâmide regular, a projeção do vértice (ápice) sobre a base é o centro do quadrado, então a distância do centro ao ponto médio do lado entra na construção do triângulo retângulo que dá a geratriz (slant height).
Passo 6
Calcular a geratriz (altura inclinada da face triangular), que chamaremos de
. A geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide
e pela apótema
. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo
e
:
Passo 7
Usar a fórmula da área lateral
de uma pirâmide regular: a área lateral é a metade do produto do perímetro da base pela geratriz:
Substituindo
e
: