Calcular a área da região plana R delimitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = x + 2. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
  2. Determinar qual é a função superior no intervalo entre esses pontos.
  3. Usar integral definida da diferença das funções para calcular a área.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de y:
x^2 = x + 2
Isso dá a equação
x^2 - x - 2 = 0
cuja solução é
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Logo, os pontos de interseção são
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 2.

Passo 3

No intervalo [-1,2], para cada x temos
x+2 - x^2 = -(x^2 - x - 2).
Como x^2 - x - 2 \le 0 nesse intervalo, conclui-se que
a reta y = x + 2 está acima da parábola y = x^2.

Passo 4

A área A da região R é dada por
A = \int_{-1}^{2} \bigl[(x+2) - x^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculemos a antiderivada:
\int \bigl(x+2 - x^2\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} + C.
Definindo
F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3},
temos
F(2) = \frac{2^2}{2} + 2\cdot2 - \frac{2^3}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3},
F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.

Passo 6

Subtraindo os valores na integral definida, obtemos
A = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \frac{9}{2}.

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