Para calcular o combustível necessário para fazer um foguete subir 500 metros, calculamos a energia necessária para elevar um kilograma da superfície da Terra até essa altitude e depois multiplicamos o resultado pela massa
do foguete. É uma aproximação, pois a massa do foguete varia ao subir, temos o atrito do ar, etc. A força gravitacional que atua sobre o foguete é dada por
onde
é a massa da Terra,
é a constante de gravitação universal e
é a distância ao centro da Terra. Faça um desenho dessa situação. Ao nível do mar,
mil quilômetros (6.37,mais exatamente).
e
. A energia necessária é medida pelo trabalho exercido, contra a gravidade, no deslocamento de
até
metros. Sabemos que Trabalho é igual a força × deslocamento, porém a força varia com a altura. Não podemos simplesmente calculá-la na superfície e multiplicar por 500 metros. Precisamos somar os vários produtos
ao longo da subida.
(a) Descreva o cálculo acima na forma de uma integral
(b) Calcule essa integral utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
(c) Sabendo que cada kilograma de combustível sólido gera aproximadamente
Joules de energia, quantos kilogramas de combustível são necessários, aproximadamente, para elevar um foguete de 1000 kg até 500 metros de altura?
(a) Descreva o cálculo acima na forma de uma integral
(b) Calcule essa integral utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
(c) Sabendo que cada kilograma de combustível sólido gera aproximadamente
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever o cálculo do trabalho necessário na forma de uma integral;
(b) calcular essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo;
(c) estimar quantos quilogramas de combustível sólido são necessários para elevar um foguete de até
.
(a) escrever o cálculo do trabalho necessário na forma de uma integral;
(b) calcular essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo;
(c) estimar quantos quilogramas de combustível sólido são necessários para elevar um foguete de
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- raio da Terra:
; - massa da Terra:
; - constante gravitacional:
; - altura a subir:
(portanto o intervalo radial é de até ); - massa do foguete (para o item (c)):
; - energia liberada por quilograma de combustível sólido:
.
Desenho esquemático da situação (descrição do rascunho pedido):
- desenhar a Terra como um círculo com centro
e raio ; - marcar um ponto na superfície
a uma distância do centro; - marcar outro ponto
radialmente acima de a distância do centro; - desenhar a seta do centro
para rotulada e do centro para rotulada ; - indicar na seta entre
e o deslocamento vertical de ; - anotar a força gravitacional apontando para baixo com módulo
.
Passo 2
Conceito físico e formulação matemática do trabalho:
O trabalho (energia) gasto para elevar o foguete contra a gravidade ao longo de um deslocamento radial é a soma (integral) dos pequenos trabalhos elementares . Aqui a força gravitacional (módulo) varia com a distância ao centro da Terra segundo
O trabalho (energia) gasto para elevar o foguete contra a gravidade ao longo de um deslocamento radial é a soma (integral) dos pequenos trabalhos elementares
onde:
-
é a constante gravitacional ( no SI), -
é a massa da Terra, -
é a massa do foguete (ou da massa que se eleva), -
é a distância ao centro da Terra (variando de até ).
Queremos o trabalho realizado contra essa força ao deslocar radialmente de
até
.
Passo 3
Escrever o trabalho como integral (resposta do item (a)):
O trabalho necessário é
O trabalho
Aqui
é o elemento de deslocamento radial e integrando de
até
somamos todos os pequenos incrementos de trabalho.
Passo 4
Cálculo da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo (item (b), simbólico):
Começamos encontrando uma primitiva de . Sabe-se que
Começamos encontrando uma primitiva de
Portanto, aplicando o fator constante
e avaliando o integral definido,
Podemos também escrever essa diferença numa forma mais explícita:
Essa é a expressão exata (dada a aproximação dos constantes) para a energia necessária para elevar uma massa
de
até
.]
Passo 5
Avaliação numérica (energia) e verificação pela aproximação
:
Primeiro calculemos a constante com os valores dados:
Primeiro calculemos a constante
Agora calculamos o fator
. Com
tem-se
Assim, para
,
Isso significa que elevar
por
exige aproximadamente
. Observação rápida: a aproximação usual
com
dá
, consistente com o valor exato acima (diferença pequena porque
).
Agora para
,
Passo 6
Cálculo da massa de combustível necessária (item (c)) e comentários práticos:
Cada quilograma de combustível sólido fornece aproximadamente . Assim a massa de combustível necessária (na aproximação ideal, sem perdas) é
Cada quilograma de combustível sólido fornece aproximadamente
Portanto, cerca de
(ou
) de combustível seriam suficientes teoricamente para fornecer a energia potencial gravitacional necessária para elevar
por
, se toda a energia química fosse convertida em energia potencial sem perdas.
Observações importantes (para não se enganar na prova): em problemas reais há muitas perdas e efeitos não considerados aqui — eficiência de motores, energia gasta para acelerar a massa, arrasto do ar, variação de massa do foguete enquanto queima combustível, necessidade de impulso adicional para vencer a inércia, entre outros — portanto o valor físico prático de combustível necessário é muito maior que essa estimativa teórica mínima.
Resposta
(a)
(b)
(c)