Para calcular o combustível necessário para fazer um foguete subir 500 metros, calculamos a energia necessária para elevar um kilograma da superfície da Terra até essa altitude e depois multiplicamos o resultado pela massa m do foguete. É uma aproximação, pois a massa do foguete varia ao subir, temos o atrito do ar, etc. A força gravitacional que atua sobre o foguete é dada por
F(r)=\frac{G M m}{r^{2}}
onde M é a massa da Terra, G é a constante de gravitação universal e r é a distância ao centro da Terra. Faça um desenho dessa situação. Ao nível do mar, r=R_{T} \approx 6 mil quilômetros (6.37,mais exatamente). M \approx 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} e G \approx 6.7 \times 10^{-11} N \cdot m^{2} / k g^{2}. A energia necessária é medida pelo trabalho exercido, contra a gravidade, no deslocamento de R_{T} até R_{T}+500 metros. Sabemos que Trabalho é igual a força × deslocamento, porém a força varia com a altura. Não podemos simplesmente calculá-la na superfície e multiplicar por 500 metros. Precisamos somar os vários produtos F(r) \times \Delta r ao longo da subida.
(a) Descreva o cálculo acima na forma de uma integral
(b) Calcule essa integral utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
(c) Sabendo que cada kilograma de combustível sólido gera aproximadamente 4 \times 10^{7} Joules de energia, quantos kilogramas de combustível são necessários, aproximadamente, para elevar um foguete de 1000 kg até 500 metros de altura?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) escrever o cálculo do trabalho necessário na forma de uma integral;
(b) calcular essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo;
(c) estimar quantos quilogramas de combustível sólido são necessários para elevar um foguete de 1000\\ \text{kg} até 500\\ \text{m}.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • raio da Terra: R_{T}\approx 6{,}37\times10^{6}\\ \text{m};
  • massa da Terra: M\approx 6\times10^{24}\\ \text{kg};
  • constante gravitacional: G\approx 6{,}7\times10^{-11}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2};
  • altura a subir: h=500\\ \text{m} (portanto o intervalo radial é de r=R_{T} até r=R_{T}+500);
  • massa do foguete (para o item (c)): m=1000\\ \text{kg};
  • energia liberada por quilograma de combustível sólido: 4\times10^{7}\\ \text{J/kg}.
Desenho esquemático da situação (descrição do rascunho pedido):
  • desenhar a Terra como um círculo com centro O e raio R_{T};
  • marcar um ponto na superfície P a uma distância R_{T} do centro;
  • marcar outro ponto Q radialmente acima de P a distância R_{T}+500 do centro;
  • desenhar a seta do centro O para P rotulada R_{T} e do centro O para Q rotulada R_{T}+500;
  • indicar na seta entre P e Q o deslocamento vertical de 500\\ \text{m};
  • anotar a força gravitacional apontando para baixo com módulo F(r)=\dfrac{G M m}{r^{2}}.

Passo 2

Conceito físico e formulação matemática do trabalho:
O trabalho (energia) gasto para elevar o foguete contra a gravidade ao longo de um deslocamento radial é a soma (integral) dos pequenos trabalhos elementares F(r)\,dr. Aqui a força gravitacional (módulo) varia com a distância ao centro da Terra segundo
F(r)=\frac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6{,}7\times10^{-11} no SI),
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa do foguete (ou da massa que se eleva),
  • r é a distância ao centro da Terra (variando de R_{T} até R_{T}+h).
Queremos o trabalho realizado contra essa força ao deslocar radialmente de r=R_{T} até r=R_{T}+500.

Passo 3

Escrever o trabalho como integral (resposta do item (a)):
O trabalho W necessário é
W=\int_{R_{T}}^{R_{T}+500}\frac{G M m}{r^{2}}\,dr.
Aqui dr é o elemento de deslocamento radial e integrando de R_{T} até R_{T}+500 somamos todos os pequenos incrementos de trabalho.

Passo 4

Cálculo da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo (item (b), simbólico):
Começamos encontrando uma primitiva de r^{-2}. Sabe-se que
\int r^{-2}\,dr=\int \frac{1}{r^{2}}\,dr=-\frac{1}{r}+C.
Portanto, aplicando o fator constante G M m e avaliando o integral definido,
\begin{aligned} W &= G M m\int_{R_{T}}^{R_{T}+500} r^{-2}\,dr = G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{R_{T}}^{R_{T}+500}\\[6pt] &= G M m\left(-\frac{1}{R_{T}+500} + \frac{1}{R_{T}}\right) = G M m\left(\frac{1}{R_{T}}-\frac{1}{R_{T}+500}\right). \end{aligned}
Podemos também escrever essa diferença numa forma mais explícita:
W = G M m\cdot\frac{500}{R_{T}(R_{T}+500)}.
Essa é a expressão exata (dada a aproximação dos constantes) para a energia necessária para elevar uma massa m de R_{T} até R_{T}+500.]

Passo 5

Avaliação numérica (energia) e verificação pela aproximação mgh:
Primeiro calculemos a constante G M com os valores dados:
G M \approx (6{,}7\times10^{-11})\cdot(6\times10^{24})=4{,}02\times10^{14}.
Agora calculamos o fator \dfrac{500}{R_{T}(R_{T}+500)}. Com R_{T}=6{,}37\times10^{6}\\ \text{m} tem-se
R_{T}(R_{T}+500)\approx (6{,}37\times10^{6})(6{,}3705\times10^{6})\approx 4{,}058\times10^{13}.
Assim, para m=1\\ \text{kg},
W_{1} \approx \frac{(4{,}02\times10^{14})\cdot 500}{4{,}058\times10^{13}} \approx 4{,}95\times10^{3}\\ \text{J}.
Isso significa que elevar 1\\ \text{kg} por 500\\ \text{m} exige aproximadamente 4{,}95\times10^{3}\\ \text{J}. Observação rápida: a aproximação usual W\approx m g h com g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^{2} W\approx 1\cdot9{,}8\cdot500=4{,}900\\ \text{J}, consistente com o valor exato acima (diferença pequena porque h\ll R_{T}).
Agora para m=1000\\ \text{kg},
W_{1000} = 1000\cdot W_{1}\approx 1000\cdot 4{,}95\times10^{3}=4{,}95\times10^{6}\\ \text{J}.

Passo 6

Cálculo da massa de combustível necessária (item (c)) e comentários práticos:
Cada quilograma de combustível sólido fornece aproximadamente 4\times10^{7}\\ \text{J}. Assim a massa de combustível necessária (na aproximação ideal, sem perdas) é
m_{\text{comb}}=\frac{W_{1000}}{4\times10^{7}} =\frac{4{,}95\times10^{6}}{4\times10^{7}}\approx 0{,}124\\ \text{kg}.
Portanto, cerca de 0{,}12\\ \text{kg} (ou 120\\ \text{g}) de combustível seriam suficientes teoricamente para fornecer a energia potencial gravitacional necessária para elevar 1000\\ \text{kg} por 500\\ \text{m}, se toda a energia química fosse convertida em energia potencial sem perdas.
Observações importantes (para não se enganar na prova): em problemas reais há muitas perdas e efeitos não considerados aqui — eficiência de motores, energia gasta para acelerar a massa, arrasto do ar, variação de massa do foguete enquanto queima combustível, necessidade de impulso adicional para vencer a inércia, entre outros — portanto o valor físico prático de combustível necessário é muito maior que essa estimativa teórica mínima.

Resposta

(a) W=\int_{R_{T}}^{R_{T}+500}\frac{G M m}{r^{2}}\,dr.
(b) W=G M m\left(\frac{1}{R_{T}}-\frac{1}{R_{T}+500}\right)=G M m\cdot\frac{500}{R_{T}(R_{T}+500)}\approx 4{,}95\times10^{6}\\ \text{J}\quad(\text{para }m=1000\\ \text{kg}).
(c) m_{\text{comb}}\approx\frac{4{,}95\times10^{6}}{4\times10^{7}}\approx 0{,}12\\ \text{kg}.