Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r1
r1: 2 x+74=y-31=2 z+22 raiz2
e a reta r2
r2=x+1-1=2 y+74=2 z-52 raiz2
Resposta: cos (theta)=2 / 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que pede para calcular o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver isso, vamos usar vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar, que nos ajuda a achar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das retas r1: 2x + 74 = y - 31 = 2z + 22raiz2 e r2: x + 1-1 = 2y + 74 = 2z - 52raiz2 . Olhando as equações das retas:
Podemos identificar os vetores diretores observando os denominadores:
  • Para , o vetor diretor é .
  • Para , o vetor diretor é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto Escalar ( u cdot v = (4)(-1) + (1)(4) + (2raiz2)(2raiz2) = -4 + 4 + 8 = 8 ):
|u| = raiz4^2 + 1^2 + (2raiz2)^2 = raiz16 + 1 + 8 = raiz25 = 5
  1. Magnitude de |v| = raiz(-1)^2 + 4^2 + (2raiz2)^2 = raiz1 + 16 + 8 = raiz25 = 5 ( cos(theta) = 85 times 5 = 825 ):
  1. Magnitude de ( ):
  1. Calculando o cosseno:

Resposta

cos (theta) = 825

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