Calcular a derivada \frac{d y}{d x} das funções definidas na forma paramétrica:
\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\\ y=\operatorname{sen} t,\end{array} \quad t \in[0,2 \pi]\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\cos t,\quad y=\operatorname{sen} t,\quad t\in[0,2\pi]
e pede a derivada \frac{dy}{dx}. Vamos usar a definição de derivada em forma paramétrica, que envolve calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\operatorname{sen} t,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\operatorname{sen} t) = \cos t.

Passo 3

Pela regra da cadeia para curva paramétrica, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 4

Substituindo os valores de \frac{dy}{dt} e \frac{dx}{dt}:
\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\operatorname{sen} t} = -\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t} = -\cot t,
válido sempre que \operatorname{sen} t\neq0 (ou seja, exceto em t=0,\pi,2\pi, onde a tangente é vertical).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\cot t.

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