Calcular a derivada \frac{d y}{d x} das funções definidas na forma paramétrica:
\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{3} t \\\ y=\operatorname{sen}^{2} t,\end{array} \quad t \in\right] 0, \frac{\pi}{2}[

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\cos^{3}t,\quad y=\sin^{2}t,\quad t\in\bigl]0,\tfrac{\pi}{2}\bigr[
e pede \frac{dy}{dx}. Vamos aplicar a regra
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a t:
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\cos^{3}t\bigr) =3\cos^{2}t\cdot\frac{d}{dt}(\cos t) =3\cos^{2}t\cdot(-\sin t) =-3\cos^{2}t\,\sin t.

Passo 3

Calculamos a derivada de y em relação a t:
\frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{2}t\bigr) =2\sin t\cdot\frac{d}{dt}(\sin t) =2\sin t\cos t.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da derivada composta:
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{2\sin t\cos t}{-3\cos^{2}t\,\sin t} =-\frac{2}{3\cos t}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3\cos t}.

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