Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y, z) = e^(x y z) + 2 x y^4 - x * raiz(z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a , e .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes.
Primeiro, derivamos em relação a :
Isso porque, ao derivar uma exponencial, trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a .
Em seguida, derivamos em relação a :
Aqui, é tratado como constante e a derivada de é 1.
Por último, derivamos em relação a :
Novamente, é constante em relação a .
Agora, somamos essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
Primeiro, derivamos em relação a :
Novamente, trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a .
Em seguida, derivamos em relação a :
A derivada de em relação a é , multiplicado por 2x dá 8x .
Por último, derivamos em relação a :
Isso porque não há na expressão, então a derivada é zero.
Somando as partes:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
Primeiro, derivamos em relação a :
Trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a .
Em seguida, derivamos em relação a :
Não há na expressão, então a derivada é zero.
Por último, derivamos em relação a :
A derivada de é , então multiplicamos por .
Somando todas as partes:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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