Calcular os determinantes D_{21}, D_{22}, D_{23} e os cofactores A_{11}, A_{21}, A_{31} para as seguintes matrizes:
\mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede os menores D_{21},D_{22},D_{23} e os cofactores A_{11},A_{21},A_{31} da matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Aqui usamos a definição de menor D_{ij} como o determinante da matriz obtida de C retirando-se a linha i e a coluna j, e o cofactor A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}.

Passo 2

Para calcular os menores 2\times 2:
D_{21}=\det\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix} =(-1)\cdot(-1)-2\cdot3=1-6=-5,
D_{22}=\det\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot2=-1-4=-5,
D_{23}=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix} =1\cdot3-(-1)\cdot2=3+2=5.

Passo 3

Para os cofactores, primeiro precisamos também de D_{11} e D_{31}:
D_{11}=\det\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot3=-1-6=-7,
D_{31}=\det\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix} =(-1)\cdot2-2\cdot1=-2-2=-4.
Agora aplicamos A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}:
A_{11}=(-1)^{1+1}D_{11}=D_{11}=-7,
A_{21}=(-1)^{2+1}D_{21}=-D_{21}=-(-5)=5,
A_{31}=(-1)^{3+1}D_{31}=D_{31}=-4.

Resposta

D_{21}=-5,\;D_{22}=-5,\;D_{23}=5;\quad A_{11}=-7,\;A_{21}=5,\;A_{31}=-4.

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