Calcular a distância da reta : ao plano pi: x+y-12=0.
Resposta: d(A, r)=5raiz2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância da reta x = 3 y = 4 z = t definida por:
ao plano dado por .
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e entender a parametrização da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Ela está parametrizada por , então qualquer ponto na reta pode ser escrito como .
Nossa ideia é encontrar a distância de um ponto qualquer dessa reta ao plano . Mas como a distância é constante se a reta for paralela ao plano, precisamos verificar a orientação da reta em relação ao plano.
Passo 3
Para encontrar a distância, usamos a fórmula da distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano :
No nosso caso, o plano é , então , , , e .
Passo 4
Vamos pegar um ponto genérico da reta d(t) = |1 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot t - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 - 12|raiz2 = |-5|raiz2 = 5raiz2 , que é , e aplicar na fórmula da distância:
Note que a distância não depende de , o que confirma que a reta é paralela ao plano.
Passo 5
Portanto, a distância da reta ao plano é constante e igual a .