Calcular a distância entre as retas e nos seguintes casos:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas e . A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e usar uma fórmula que nos dá essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta é definida por:
Isso significa que qualquer ponto na reta tem e . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta s:
y - 3 = 0 2x - z = 0
Aqui, qualquer ponto na reta s tem y = 3 e z = 2x. Vamos parametrizar essa reta usando um parâmetro u:
s: x = u y = 3 z = 2u
Passo 4
Para encontrar a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula que envolve os vetores diretores das retas e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra. Vamos identificar os vetores diretores:
Vetor diretor da reta r: vr = (0, 1, 1)
Vetor diretor da reta s: vs = (1, 0, 2)
Além disso, escolhemos pontos em cada reta:
Ponto em r: P = (0, 0, 0) (quando t = 0)
Ponto em s: Q = (0, 3, 0) (quando u = 0)
Passo 5
Agora, calculamos o vetor que liga P a Q:
PQ = Q - P = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0)
A distância d entre as retas é dada por:
d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs|
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.