Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
(a) r:lx=0 y-z=0
e s:ly-3=0 2 x-z=0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas r e s. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e usar uma fórmula que nos dá essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta r é definida por:
x = 0 y - z = 0
Isso significa que qualquer ponto na reta r tem x = 0 e y = z. Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro t:
r: x = 0 y = t z = t

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta s:
y - 3 = 0 2x - z = 0
Aqui, qualquer ponto na reta s tem y = 3 e z = 2x. Vamos parametrizar essa reta usando um parâmetro u:
s: x = u y = 3 z = 2u

Passo 4

Para encontrar a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula que envolve os vetores diretores das retas e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra. Vamos identificar os vetores diretores:
  • Vetor diretor da reta r: vr = (0, 1, 1)
  • Vetor diretor da reta s: vs = (1, 0, 2)
Além disso, escolhemos pontos em cada reta:
  • Ponto em r: P = (0, 0, 0) (quando t = 0)
  • Ponto em s: Q = (0, 3, 0) (quando u = 0)

Passo 5

Agora, calculamos o vetor que liga P a Q:
PQ = Q - P = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0)
A distância d entre as retas é dada por:
d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs|
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial vr times vs:
vr times vs = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) = (2, 1, -1)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar PQ cdot (vr times vs):
PQ cdot (2, 1, -1) = 0 cdot 2 + 3 cdot 1 + 0 cdot (-1) = 3
E a magnitude do produto vetorial:
|vr times vs| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Resposta

Então, a distância entre as retas r e s é:
d = 3raiz6 = raiz62

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