Calcular os fatores de forma para uma bacia cujo perímetro é 11,3 \mathrm{~km}, área de 800 ha e comprimento axial de 4,5 \mathrm{~km}. Foram determinados 7 valores de largura ao longo da bacia, iguais a 1,5 \mathrm{~km}, 2,6 \mathrm{~km}, 3,5 \mathrm{~km}, 4,5 \mathrm{~km}, 4,3 \mathrm{~km}, 2,8 \mathrm{~km} e 1,1 \mathrm{~km}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os fatores de forma de uma bacia. Dados fornecidos (vou listar tudo de forma clara):
P = 11{,}3\\ \mathrm{km}\quad(\text{perímetro})í
\text{área} = 800\\ \mathrm{ha}á
L = 4{,}5\\ \mathrm{km}\quad(\text{comprimento axial})
Foram também medidos 7 valores de largura ao longo da bacia (estes valores vieram do enunciado):
1{,}5\\ \mathrm{km},\;2{,}6\\ \mathrm{km},\;3{,}5\\ \mathrm{km},\;4{,}5\\ \mathrm{km},\;4{,}3\\ \mathrm{km},\;2{,}8\\ \mathrm{km},\;1{,}1\\ \mathrm{km}.
O enunciado pede “os fatores de forma” (plural). Vou calcular os índices de forma mais usados e úteis numa prova: fator de forma, razão de alongamento (elongation ratio), razão de circularidade (circularity ratio), coeficiente de compacidade e também a largura média (quando pertinente) e a razão comprimento/largura. No passo seguinte eu explico cada fórmula e por que escolhi essas.

Passo 2

Escolha de método e fórmulas (explico cada uma como se você tivesse que repetir isso na prova):
  1. Conversão de unidades: a área está em hectares; vou converter para \mathrm{km}^2 porque comprimento e perímetro estão em \mathrm{km}.
    Fórmula: 1\\ \mathrm{ha}=0{,}01\\ \mathrm{km}^2. Variável: \text{área}=Aá.
  2. Largura média efetiva da bacia: duas formas comuns de obter largura média:
    • largura média a partir da área e do comprimento axial: \;W_m=\dfrac{A}{L}. Aqui A em \mathrm{km}^2 e L em \mathrm{km}, então W_m em \mathrm{km}. Essa largura média é a mais consistente quando a área é dada (é a largura média “real” que garante A=L\cdot W_m).
    • média aritmética das larguras medidas: \; \overline{W}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n W_i. Essa média só se iguala à anterior se as seções estiverem igualmente espaçadas e representarem corretamente a distribuição; pode divergir se as seções não forem uniformes.
  3. Fator de forma (form factor): mede a tendência de pico de cheias; definido por
F_f=\dfrac{A}{L^2},
onde A é a área em \mathrm{km}^2 e L o comprimento axial em \mathrm{km}. Valores próximos de 1 indicam bacia quase circular (pico rápido); valores pequenos indicam bacia alongada (pico mais suave).
  1. Razão de circularidade (circularity ratio):
R_c=\dfrac{4\pi A}{P^2},
onde P é o perímetro em \mathrm{km}. R_c varia de 0 a 1; 1 é círculo perfeito.
  1. Razão de alongamento (elongation ratio):
R_e=\dfrac{2\sqrt{A/\pi}}{L}=\sqrt{\dfrac{4A}{\pi L^2}}.
Também varia entre 0 e 1; quanto mais próximo de 1, mais circular.
  1. Coeficiente de compacidade (às vezes chamado coeficiente de eficiência ou compacidade):
C_c=\dfrac{P}{2\sqrt{\pi A}}.
Para um círculo C_c=1. Note que C_c=\dfrac{1}{\sqrt{R_c}} (relação útil).
  1. Razão comprimento/largura (prática para caracterizar alongamento):
\text{Razão }L/W = \dfrac{L}{W},ã
onde W pode ser W_m (a largura média calculada por A/L) ou a média das larguras medidas \overline{W}. Vou calcular ambas e explicar a diferença.
Agora vamos aplicar todas as fórmulas passo a passo com os números.

Passo 3

Converter a área de hectares para \mathrm{km}^2.
A = 800\\ \mathrm{ha} = 800\times 0{,}01\\ \mathrm{km}^2 = 8\\ \mathrm{km}^2.
Explicação curta: multiplicamos por 0{,}01 porque 1\\ \mathrm{ha}=0{,}01\\ \mathrm{km}^2.

Passo 4

Calcular a largura média a partir da área e do comprimento axial:
W_m=\dfrac{A}{L}=\dfrac{8}{4{,}5}.
Fazendo a divisão:
W_m=1{,}777\ldots\\ \mathrm{km}\approx 1{,}778\\ \mathrm{km}.
Isso significa que, se a bacia fosse um retângulo de comprimento 4{,}5\\ \mathrm{km} e área 8\\ \mathrm{km}^2, a largura média seria 1{,}778\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Calcular a média aritmética das 7 larguras medidas (estes valores vieram do enunciado):
\overline{W}=\dfrac{1{,}5+2{,}6+3{,}5+4{,}5+4{,}3+2{,}8+1{,}1}{7}.
Somando numeradores:
1{,}5+2{,}6=4{,}1;\;4{,}1+3{,}5=7{,}6;\;7{,}6+4{,}5=12{,}1;
12{,}1+4{,}3=16{,}4;\;16{,}4+2{,}8=19{,}2;\;19{,}2+1{,}1=20{,}3.
\overline{W}=\dfrac{20{,}3}{7}=2{,}9\\ \mathrm{km}.
Observação didática: note a discrepância entre W_m=1{,}778\\ \mathrm{km} (obtida por A/L) e \overline{W}=2{,}9\\ \mathrm{km} (média das medidas). Isso ocorre porque as seções medidas podem não estar igualmente espaçadas ao longo do comprimento axial ou porque as larguras maiores aparecem em trechos onde as seções estão mais afastadas — a média aritmética simples só é representativa se as seções forem igualmente espaçadas e/ou representarem a distribuição da largura corretamente. Como a área do terreno é dado (8 km²) e é a informação mais global e consistente, para índices baseados em área (como F_f,R_c,R_e,C_c) usamos A e L diretamente; a média medida \overline{W} é apenas uma informação adicional e vou apresentar também a razão L/\overline{W} por completude.

Passo 6

Calcular o fator de forma \;F_f=\dfrac{A}{L^2}.
L^2=(4{,}5)^2=20{,}25\\ \mathrm{km}^2.
F_f=\dfrac{8}{20{,}25}=0{,}3950617\ldots\approx 0{,}395.
Interpretação rápida: F_f\approx 0{,}395 (valor menor que 0,5) indica uma bacia mais alongada do que circular se comparada a bacias com F_f próximo de 1.

Passo 7

Calcular a razão de circularidade \;R_c=\dfrac{4\pi A}{P^2}.
P^2=(11{,}3)^2=127{,}69\\ \mathrm{km}^2.
4\pi A = 4\pi\cdot 8 = 32\pi \approx 32\cdot 3{,}1415927 = 100{,}5309649\ldots
R_c=\dfrac{100{,}5309649}{127{,}69}\approx 0{,}787665\ldots\approx 0{,}788.
Interpretação: R_c\approx 0{,}788 é relativamente alto (próximo de 1), indicando que, segundo a relação área/perímetro, a bacia tem uma forma relativamente compacta (pouco recortada) — este índice reflete como a área se relaciona com o perímetro.

Passo 8

Calcular a razão de alongamento (elongation ratio) \;R_e=\dfrac{2\sqrt{A/\pi}}{L}.
Primeiro calcule \sqrt{A/\pi}=\sqrt{\dfrac{8}{\pi}}.
\dfrac{8}{\pi}\approx \dfrac{8}{3{,}1415927}=2{,}54648\ldots
\sqrt{2{,}54648\ldots}=1{,}59577\ldots
Multiplica por 2:
2\sqrt{A/\pi}=3{,}191545\ldots
Divide por L=4{,}5:
R_e=\dfrac{3{,}191545\ldots}{4{,}5}=0{,}709232\ldots\approx 0{,}709.
Interpretação: R_e\approx 0{,}709 mostra que a bacia é moderadamente alongada (valores perto de 1 = circular; valores baixos = muito alongado).

Passo 9

Calcular o coeficiente de compacidade \;C_c=\dfrac{P}{2\sqrt{\pi A}}.
Calcule \sqrt{\pi A}=\sqrt{\pi\cdot 8}.
\pi\cdot 8\approx 3{,}1415927\cdot 8=25{,}1327412\ldots
\sqrt{25{,}1327412}=5{,}013266\ldots
2\sqrt{\pi A}=10{,}026532\ldots
C_c=\dfrac{11{,}3}{10{,}026532\ldots}=1{,}12679\ldots\approx 1{,}127.
Verificação rápida usando R_c: \;C_c=\dfrac{1}{\sqrt{R_c}}. De fato, \sqrt{0{,}787665}=0{,}8876\ldots e 1/0{,}8876\ldots=1{,}1268\ldots compatível.
Interpretação: C_c pouco maior que 1 indica compactidade próxima à de um círculo (um círculo teria C_c=1).

Passo 10

Calcular a razão comprimento/largura com as duas larguras médias (explico por que mostro as duas):
a) Usando W_m=A/L:
\dfrac{L}{W_m}=\dfrac{4{,}5}{1{,}777\ldots}=2{,}53125\approx 2{,}531.
b) Usando a média aritmética das larguras medidas \overline{W}=2{,}9\\ \mathrm{km}:
\dfrac{L}{\overline{W}}=\dfrac{4{,}5}{2{,}9}=1{,}551724\ldots\approx 1{,}552.
Comentário: a razão L/W_m\approx 2{,}531 indica uma bacia com comprimento cerca de 2,5 vezes a largura média (pela área), enquanto a razão com a média medida sugere ~1,55. Na prova prefira usar W_m=A/L quando a área é fornecida, pois garante consistência com A.

Passo 11

Interpretação final (rápida e motivadora):
  • F_f\approx 0{,}395 e R_e\approx 0{,}709 indicam que a bacia é moderadamente alongada (não extremamente alongada nem perfeitamente circular).
  • R_c\approx 0{,}788 e C_c\approx 1{,}127 mostram que, em termos de área vs perímetro, a bacia é relativamente compacta (pouco recortada).
    Esses índices juntos dizem que a bacia tem certa compactidade, mas não é perfeitamente circular: ela é razoavelmente compacta em contorno, mas com comprimento suficiente para tornar o fator de forma menor que 0,5. Você já está indo bem — esses são os cálculos passo a passo que pedem na prova.

Resposta

A=8\\ \mathrm{km}^2
W_m=\dfrac{A}{L}=1{,}778\\ \mathrm{km}
\overline{W}=\dfrac{1{,}5+2{,}6+3{,}5+4{,}5+4{,}3+2{,}8+1{,}1}{7}=2{,}9\\ \mathrm{km}
F_f=\dfrac{A}{L^2}=0{,}395
R_c=\dfrac{4\pi A}{P^2}=0{,}788
R_e=\dfrac{2\sqrt{A/\pi}}{L}=0{,}709
C_c=\dfrac{P}{2\sqrt{\pi A}}=1{,}127
\dfrac{L}{W_m}=2{,}531
\dfrac{L}{\overline{W}}=1{,}552

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