Calcular a frequência natural de um cilindro hidráulico de duplo efeito, não-diferencial que está acoplado a uma carga inercial de 2 toneladas, sendo o diâmetro do êmbolo (
) de
e o diâmetro da haste
de
. Considera-se
Pa e o curso total do atuador
de
. Efetuar os cálculos para: a)
)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a frequência natural de um cilindro hidráulico de duplo efeito, não-diferencial, que está ligado a uma carga inercial de 2 toneladas. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de hidráulica e vibrações mecânicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é frequência natural. Ela é a frequência na qual um sistema tende a vibrar quando não há forças externas atuando sobre ele além das internas. No caso do cilindro hidráulico, essa frequência depende da rigidez do sistema (como a compressibilidade do fluido) e da massa acoplada a ele.
Passo 3
Vamos listar os dados fornecidos:
- Carga inercial (massa,
) = 2 toneladas = 2000 kg - Diâmetro do êmbolo (
) = 50 mm = 0,05 m - Diâmetro da haste (
) = 25 mm = 0,025 m - Módulo de compressibilidade (
) = Pa - Curso total do atuador (
) = 0,45 m - Volume A (
) e Volume B ( ) variando conforme os casos a) e b)
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as áreas do êmbolo e da haste, que são necessárias para determinar o volume de fluido.
A área do êmbolo (
) é dada por:
A área da haste (
) é:
Passo 5
Calculando as áreas:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume total do atuador (
). Esse volume é a soma dos volumes das câmaras nos dois lados do cilindro:
Onde
e
são os volumes nas posições A e B, respectivamente. Vamos considerar o curso total
para determinar esses volumes.
Passo 7
Para um cilindro de duplo efeito, o volume
é o volume deslocado pelo êmbolo, e
pelo movimento da haste. Assim:
Passo 8
Calculando
e
:
Passo 9
Agora, vamos determinar a frequência natural (
) usando a fórmula:
Onde:
-
é a área do êmbolo -
é o módulo de compressibilidade -
é a massa -
é o volume total
Passo 10
Vamos calcular
para os dois casos:
a)
b)
Passo 11
Caso a)
Se
, então:
Como já calculamos
e
anteriormente, verificamos se eles são iguais. No nosso cálculo:
Eles não são iguais, então precisamos ajustar para que
.
Para isso, definimos:
Então:
Mas como
, vamos recalcular
:
Passo 12
Agora, aplicamos na fórmula da frequência natural:
Substituindo os valores:
Passo 13
Calculando os valores dentro da raiz:
Multiplicando pelo módulo de compressibilidade:
Dividindo pelo produto da massa e volume total:
Então:
Passo 14
Agora, tirando a raiz quadrada:
Finalmente, dividindo por
:
Passo 15
Caso b)
Aqui,
. Vamos expressar
em termos de
:
Vamos primeiro determinar
:
Então:
Passo 16
Aplicando na fórmula da frequência natural:
Substituindo os valores:
Passo 17
Calculando os valores dentro da raiz:
Multiplicando pelo módulo de compressibilidade:
Dividindo pelo produto da massa e volume total:
Então:
Passo 18
Agora, tirando a raiz quadrada:
Finalmente, dividindo por
:
Resposta
a) A frequência natural é aproximadamente 5,85 Hz.
b) A frequência natural é aproximadamente 12,34 Hz.