Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Pascal (r,p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as funções características de variáveis aleatórias que seguem a distribuição Pascal, que é representada por $ (r, p) $. A função característica é uma ferramenta importante na teoria das probabilidades porque ela nos ajuda a entender a distribuição de uma variável aleatória de uma maneira mais profunda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função característica e como ela se aplica à distribuição Pascal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
onde $ \mathbb{E} $ representa o valor esperado e $ i $ é a unidade imaginária. Essa função basicamente captura todas as informações sobre a distribuição de $ X $.
Passo 3
Agora, vamos focar na distribuição Pascal. A distribuição Pascal, também conhecida como distribuição negativa binomial, modela o número de tentativas necessárias para obter $ r $ sucessos em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade $ p $ de sucesso.
A função de massa de probabilidade (PMF) da distribuição Pascal é dada por:
Passo 4
Para encontrar a função característica $ \phi_X(t) $ da variável aleatória $ X $ que segue a distribuição Pascal, precisamos calcular o valor esperado $ \mathbb{E}\left[e^{itX}\right] $.
Substituindo a PMF na definição da função característica, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa soma. Note que a expressão $ \binom{k-1}{r-1} $ pode ser interpretada combinatoriamente, e a soma se assemelha à série de uma função geradora. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando isso à nossa soma, identificamos que $ x = e^{it} (1 - p) $. Então, substituindo na expressão acima:
Passo 7
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A função característica da variável aleatória $ X $ que segue a distribuição Pascal $ (r, p) $ é: