Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a região delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{T} x\,dV,
onde T é a região delimitada pela esfera
x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9.
Informações importantes fornecidas:
  • A superfície é uma esfera de raio r=3.
  • O centro da esfera é o ponto (0,3,2).
  • A integral é da função x sobre todo o volume interno dessa esfera.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática e intuição): a função que estamos integrando é x. Observe que a esfera tem centro com coordenada x igual a 0. Isso significa que, em relação ao eixo x, a esfera é simétrica: para cada ponto (x,y,z) no sólido existe o ponto (-x,y,z) também no sólido. Quando integrando uma função ímpar em x (isto é, f(-x)=-f(x)) sobre uma região simétrica em relação ao plano x=0, as contribuições de pontos simétricos se cancelam e a integral é zero. Um exemplo simples para fixar a ideia: \int_{-a}^{a} x\,dx = 0 porque para cada t em [0,a] -t em [-a,0] e t+(-t)=0.

Passo 3

Formalizando com mudança de variáveis (centralizar a esfera): defina as variáveis
u=x-0,\qquad v=y-3,\qquad w=z-2.
Então a equação da esfera fica
u^{2}+v^{2}+w^{2}=9,
isto é, a bola de raio 3 centrada na origem em (u,v,w). A mudança (x,y,z)\mapsto(u,v,w) é uma translação rígida; seu jacobiano é 1, portanto dV_{xyz}=dV_{uvw}. A integral transforma-se em
\iiint_{T} x\,dV = \iiint_{B} (u+0)\,dV_{uvw} = \iiint_{B} u\,dV_{uvw},
onde B é a bola u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 9.

Passo 4

Propriedade de paridade e cancelamento (argumento rigoroso): a função u é ímpar em u e a região B é simétrica em relação ao plano u=0. Para cada ponto (u,v,w)\in B existe o ponto (-u,v,w)\in B, e as contribuições na integral somam
u + (-u) = 0.
Portanto as contribuições de todos os pares de pontos simétricos se cancelam, resultando em
\iiint_{B} u\,dV_{uvw} = 0.
Como a integral original é igual a essa, concluímos que a integral procurada é 0.

Passo 5

Comentário alternativo (fórmula do centro de massa) para reforçar a ideia: a coordenada x do centro de massa (ou centróide) de um sólido uniforme T é
\bar{x}=\frac{1}{\mathrm{Vol}(T)}\iiint_{T} x\,dV.
Para uma esfera, o centróide coincide com o centro geométrico, aqui (0,3,2); portanto \bar{x}=0. Assim
\iiint_{T} x\,dV=\bar{x}\,\mathrm{Vol}(T)=0\cdot\mathrm{Vol}(T)=0.
(Fato adicional: \mathrm{Vol}(T)=\tfrac{4}{3}\pi 3^{3}=36\pi, se quiser conferir a consistência.)

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