Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde
é a região delimitada pela esfera
Informações importantes fornecidas:
- A superfície é uma esfera de raio
. - O centro da esfera é o ponto
. - A integral é da função
sobre todo o volume interno dessa esfera.
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática e intuição): a função que estamos integrando é
. Observe que a esfera tem centro com coordenada
igual a
. Isso significa que, em relação ao eixo
, a esfera é simétrica: para cada ponto
no sólido existe o ponto
também no sólido. Quando integrando uma função ímpar em
(isto é,
) sobre uma região simétrica em relação ao plano
, as contribuições de pontos simétricos se cancelam e a integral é zero. Um exemplo simples para fixar a ideia:
porque para cada
em
há
em
e
.
Passo 3
Formalizando com mudança de variáveis (centralizar a esfera): defina as variáveis
Então a equação da esfera fica
isto é, a bola de raio
centrada na origem em
. A mudança
é uma translação rígida; seu jacobiano é
, portanto
. A integral transforma-se em
onde
é a bola
.
Passo 4
Propriedade de paridade e cancelamento (argumento rigoroso): a função
é ímpar em
e a região
é simétrica em relação ao plano
. Para cada ponto
existe o ponto
, e as contribuições na integral somam
Portanto as contribuições de todos os pares de pontos simétricos se cancelam, resultando em
Como a integral original é igual a essa, concluímos que a integral procurada é
.
Passo 5
Comentário alternativo (fórmula do centro de massa) para reforçar a ideia: a coordenada
do centro de massa (ou centróide) de um sólido uniforme
é
Para uma esfera, o centróide coincide com o centro geométrico, aqui
; portanto
. Assim
(Fato adicional:
, se quiser conferir a consistência.)