Calcular as integrais curvilíneas. integralC y(x-z) d s onde C é a interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=9 e x+z=3.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular a integral curvilínea integralC y(x-z) d s, onde C é a interseção das superfícies x^2 + y^2 + z^2 = 9 (uma esfera de raio 3) e x + z = 3 (um plano). Vamos precisar usar geometria espacial para entender a curva C e cálculo de integrais curvilíneas para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a curva C, que é a interseção da esfera e do plano. Para isso, substituímos z da equação do plano na equação da esfera:
z = 3 - x
Substituindo na esfera:
x^2 + y^2 + (3 - x)^2 = 9
Expandindo:
x^2 + y^2 + 9 - 6x + x^2 = 9
Simplificando:
2x^2 - 6x + y^2 = 0

Passo 3

Vamos reescrever a equação para identificar que tipo de curva é:
2x^2 - 6x + y^2 = 0
Completo o quadrado para x:
2(x^2 - 3x) + y^2 = 0
2(x^2 - 3x + 94) - 92 + y^2 = 0
2(x - 32)^2 + y^2 = 92
Dividindo ambos os lados por 92:
(x - 32)^294 + y^292 = 1
Isso mostra que C é um círculo.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva C. Como é um círculo, usamos coordenadas paramétricas:
x = 32 + 32 cos theta
y = 3raiz2 sin theta
z = 3 - x = 32 - 32 cos theta
onde theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, calculamos d s, que é o elemento de arco. Primeiro, encontramos as derivadas das coordenadas em relação a theta:
dxdtheta = -32 sin theta
dydtheta = 3raiz2 cos theta
dzdtheta = 32 sin theta
Então,
d s = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 dtheta
Calculando:
d s = raiz(-32 sin theta)^2 + (3raiz2 cos theta)^2 + (32 sin theta)^2 dtheta
d s = raiz94 sin^2 theta + 92 cos^2 theta + 94 sin^2 theta dtheta
d s = raiz92 sin^2 theta + 92 cos^2 theta dtheta
d s = raiz92 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta
Como sin^2 theta + cos^2 theta = 1,
d s = raiz92 dtheta = 3raiz2 dtheta

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
integralC y(x-z) d s = integral0^2pi y(theta)(x(theta) - z(theta)) d s
Substituindo as parametrizações:
y(theta) = 3raiz2 sin theta
x(theta) - z(theta) = (32 + 32 cos theta) - (32 - 32 cos theta) = 3 cos theta
d s = 3raiz2 dtheta
Então,
integral0^2pi (3raiz2 sin theta) (3 cos theta) (3raiz2) dtheta

Passo 7

Simplificando os termos:
3raiz2 times 3 times 3raiz2 = 272
Então, a integral fica:
272 integral0^2pi sin theta cos theta dtheta

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral integral0^2pi sin theta cos theta dtheta.
Usamos a identidade trigonométrica: sin theta cos theta = 12 sin 2theta
Então,
integral0^2pi sin theta cos theta dtheta = 12 integral0^2pi sin 2theta dtheta
Integrando:
12 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = -14 (cos 4pi - cos 0) = -14 (1 - 1) = 0

Resposta

A integral curvilínea integralC y(x-z) d s é igual a 0.

Exercícios relacionados