Calcular as integrais curvilíneas.
onde C é a interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular a integral curvilínea
, onde
é a interseção das superfícies
(uma esfera de raio 3) e
(um plano). Vamos precisar usar geometria espacial para entender a curva
e cálculo de integrais curvilíneas para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a curva
, que é a interseção da esfera e do plano. Para isso, substituímos
da equação do plano na equação da esfera:
Substituindo na esfera:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para identificar que tipo de curva é:
Completo o quadrado para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que
é um círculo.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo, usamos coordenadas paramétricas:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Agora, calculamos
, que é o elemento de arco. Primeiro, encontramos as derivadas das coordenadas em relação a
:
Então,
Calculando:
Como
,
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Substituindo as parametrizações:
Então,
Passo 7
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral
.
Usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
Resposta
A integral curvilínea
é igual a
.