Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{d x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\operatorname{sen}^{2}x}.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a definição de \csc x e a primitiva conhecida de \csc^{2}x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de cosseno inverso:
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}x} = \csc^{2}x.
Logo a integral vira
\int \csc^{2}x\,dx.

Passo 3

Recordamos que a derivada da função \cot x é
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\,\csc^{2}x.
Isso significa que \csc^{2}x é a derivada de -\cot x.

Passo 4

Como queremos uma primitiva de \csc^{2}x, basta inverter o sinal na função cujo derivada é \csc^{2}x, obtendo
\int \csc^{2}x\,dx = -\,\cot x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\cot x + C

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